แจกแจงคู่ของเส้นทางที่แยกออกทั้งหมด

ได้รับการกำกับกราฟและสองจุดs , เสื้อ∈ V คู่ของเส้นทางที่เรียบง่ายp 1 , p 2จากsถึงtคือความไม่ต่อเนื่องของขอบหากไม่ได้แบ่งขอบ$G = (V,E)$$s,t \in V$$p_1,p_2$$s$$t$

โดยใช้การไหลสูงสุดจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะตัดสินใจว่ามีคู่ของเส้นทางเคลื่อนจากขอบไปที ตอนนี้มีอัลกอริธึมการหน่วงเวลาแบบพหุนามในการแจกแจงคู่ของขอบ disjoint path จากsถึงtหรือไม่?$s$$t$$s$$t$

ฉันเชื่อว่าคำตอบของ Artem Kaznatcheev นั้นถูกต้อง แต่มันไม่ได้ให้พื้นที่พหุนาม ดังนั้นนี่คือวิธีการที่แตกต่างกันซึ่งควรจะทำงานได้ดีขึ้นเล็กน้อยในแง่นั้น

การใช้การไหลสูงสุดนั้นเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาทั่วไปได้เล็กน้อยมากขึ้น: หาคู่ของรอยแยกขอบจากสองจุดยอด {s1, s2} ไปยังจุดยอดคู่อื่น {t1, t2} แต่ไม่มีการควบคุมจุดเชื่อมต่อแหล่งที่มา ไปยังจุดสุดยอดปลายทาง

สมมติว่าเรามีกราฟ G และจุดยอด s1, s2, t1, t2 ซึ่งเราต้องการแสดงรายการคู่ของเส้นทางทั้งหมด ค้นหาคู่ของเส้นทาง P1, P2 และให้ e = (s1, v) เป็นขอบแรกของหนึ่งในเส้นทางเหล่านั้น จากนั้นเราสามารถแบ่งพื้นที่ปัญหาออกเป็นสอง subproblems: คู่ของเส้นทางที่ใช้ e นั้นเหมือนกับเส้นทางจาก {v, s2} ถึง {t1, t2} ใน G-s1 และคู่ของเส้นทางที่ไม่ได้ใช้ e เหมือนกับเส้นทางจาก {s1, s2} ถึง {t1, t2} ใน Ge ชดเชยในปัญหาย่อยทั้งสองนี้และ (เพื่อหลีกเลี่ยงการทำซ้ำ) เพียงรายงานเส้นทางเมื่อคุณอยู่ที่ด้านล่างของการสอบถามซ้ำ

นี่เป็นครั้งแรกที่ฉันได้อ่านเกี่ยวกับอัลกอริธึมการหน่วงเวลาพหุนามดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจ 100% สำหรับคำตอบของฉัน แต่ฉันคิดว่าสิ่งต่อไปนี้ควรใช้งานได้

รับการประชุมบางอย่างสำหรับการเป็นตัวแทนของเส้นทางที่มีการสั่งซื้อทั้งหมดธรรมชาติที่กำหนดไว้ในนั้น (ตัวอย่างหนึ่งจะเป็นเพียงการแสดงรายการจุดสุดยอดของเส้นทางและคำสั่งพจนานุกรม) เลือกที่คุณชื่นชอบในสถานที่ข้อมูลโครงสร้างDที่สนับสนุนการค้นหาลอการิทึมและแทรก (พูดต้นไม้สีแดงสีดำ) ให้Gเป็นกราฟของคุณ$<$$D$$G$

กำหนดอัลกอริทึม :$F$

:$F(s,t,G, ^*D)$

(ที่นี่∗ Dหมายถึงการอ้างอิงไปยังโครงสร้างข้อมูล inplace D )$^*D$$D$

1. ขั้นตอนวิธีการเรียกใช้โพลีเวลาของคุณสำหรับการกลับมาคู่ของเส้นทางขอบเคลื่อนกับP < Qจากsไปที$(P,Q)$$P < Q$$s$$t$

2. ถ้าไม่ได้อยู่ในD$(P,Q)$$D$

   2.1 แทรกลงในD (และเอาท์พุทถ้าคุณคิดว่าจะส่งออกในขณะที่อัลกอริทึมทำงาน)$(P,Q)$$D$

   2.2 สำหรับแต่ละขอบทำงานF ( s , T , G - { ยูวี} , * D $uv \in E(P\cup Q)$$F(s,t,G - \{uv\}, ^*D)$

ตอนนี้เพื่อระบุเส้นทางทั้งหมดของคุณสร้างที่ว่างเปล่าและแต่ละคู่s , เสื้อ∈ V ( G )กับs < T (ถ้ากราฟจะไม่มีทิศทาง, s ≠ เสื้ออื่น ๆ ) เรียกF ( s , T , G , * D ) คุณจะส่งออกทุกเส้นทางในครั้งแรกที่คุณเห็นพวกเขาและคุณจะมีโครงสร้างข้อมูลที่สามารถค้นหาได้ที่มีเส้นทางทั้งหมดเมื่อคุณทำเสร็จแล้ว โปรดทราบว่าอัลกอริทึมนี้ยังทำงานในเวลาพหุนามในขนาดของอินพุต + เอาต์พุต (เช่นเดียวกับอัลกอริทึมการหน่วงเวลาพหุนามใด ๆ )$D$$s,t \in V(G)$$s < t$$s \neq t$$F(s,t,G,*D)$

$PSPACE$$PSPACE$

$O(m)$