ลำดับขั้นสำหรับ BPP เทียบกับการสุ่มตัวอย่าง

ในหนึ่งประโยค: การมีอยู่ของลำดับชั้นสำหรับบ่งบอกถึงผลลัพธ์การแยกตัวเป็นกลุ่มหรือไม่?$\mathsf{BPTIME}$

คำถามที่เกี่ยวข้อง แต่ผู้รอบรู้คือ: การมีอยู่ของลำดับชั้นสำหรับบ่งบอกถึงขอบเขตที่ต่ำกว่ายากหรือไม่? การแก้ไขปัญหานี้กระทบกับสิ่งกีดขวางที่รู้จักในทฤษฎีความซับซ้อนหรือไม่?$\mathsf{BPTIME}$

แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามนี้คือการเข้าใจความยากลำบากญาติ (ที่เกี่ยวกับการแก้ปัญหาเปิดใหญ่อื่น ๆ ในทฤษฎีความซับซ้อน) แสดงลำดับชั้นสำหรับ{} ฉันสมมติว่าทุกคนเชื่อว่ามีลำดับชั้นดังกล่าวอยู่ แต่โปรดแก้ไขให้ฉันถ้าคุณคิดอย่างอื่น$\mathsf{BPTIME}$

พื้นหลังบางส่วน :มีภาษาเหล่านั้นซึ่งสมาชิกสามารถตัดสินใจได้โดยเครื่องเปลี่ยนรูปแบบความน่าจะเป็นในเวลาพร้อมความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดแบบ จำกัด แม่นยำมากขึ้นภาษาหากมีเครื่องทัวริงน่าจะเป็นเช่นนั้นสำหรับใด ๆเครื่องทำงานในเวลาและยอมรับกับความน่าจะเป็นอย่างน้อยและสำหรับการใด ๆ ,ทำงานในเวลาและปฏิเสธกับความน่าจะเป็นอย่างน้อย2/3ฉ( n ) L ∈ B P T ฉันM E ( F ( n ) ) T x ∈ L T O ( F ( | x | ) ) 2 / 3 x ∉ L T O ( f ( | x | ) ) $\mathsf{BPTIME}(f(n))$$f(n)$$L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$$T$$x \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$$x \not \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$

โดยไม่มีเงื่อนไขก็จะเปิดให้บริการไม่ว่าจะเป็นสำหรับทุก1 Barak แสดงให้เห็นว่ามีลำดับชั้นเข้มงวดสำหรับสำหรับเครื่องที่มีคำแนะนำFortnow และ Santhanam ได้ปรับปรุงสิ่งนี้เป็นคำแนะนำ 1 บิต นี่ทำให้ฉันคิดว่าการพิสูจน์การมีอยู่ของลำดับชั้นเวลาน่าจะเป็นนั้นอยู่ไม่ไกล ในทางกลับกันผลที่ได้คือยังเปิดอยู่และฉันไม่สามารถหาความคืบหน้าใด ๆ หลังจากที่ปี 2004 อ้างอิงตามปกติสามารถพบได้ในสวนสัตว์c > 1 B P T I M E O ( บันทึกn $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$$c > 1$$\mathsf{BPTIME}$$O(\log n)$

ความสัมพันธ์กับ derandomization มาจากผลลัพธ์ของ Impagliazzo และ Wigderson: พวกเขาแสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานความซับซ้อนที่เป็นไปได้สำหรับค่าคงที่และค่าคงที่ . โดยทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลาแบบคลาสสิกสำหรับเวลาที่กำหนดได้นี่หมายถึงลำดับชั้นของเวลาสำหรับเวลาที่น่าจะเป็น ฉันกำลังถามคำถามสนทนา: hiearchy น่าจะเป็นตีกับอุปสรรคที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ผลการสุ่มตัวอย่าง?d $\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$$d$$c$

หากใครมีข้อสังเกตเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่ระหว่างเราและพิสูจน์การมีอยู่ของลำดับชั้นสำหรับเวลาความน่าจะเป็นอย่าลังเลที่จะตอบ / แสดงความคิดเห็น แน่นอนคำตอบที่ชัดเจนคือมีคำจำกัดความความหมายที่ท้าทายเทคนิคแบบดั้งเดิม ฉันสนใจการสังเกตที่ชัดเจนน้อยกว่า$\mathsf{BPTIME}$

ให้ PTH เป็นสมมติฐานที่มีลำดับชั้นเวลาที่น่าจะเป็น สมมติว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณเป็นจริงคือ "PTH นัย " สำหรับการแก้ไขบางคจากนั้นจะเป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไข พิจารณาสองกรณี:c E X P ≠ B P $BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$c$$EXP \neq BPP$

• หาก PTH เป็นเท็จแล้วBPP นี่คือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่แลนซ์สังเกต$EXP \neq BPP$
• หาก PTH เป็นจริงแล้ว "PTH นัย " อีกครั้งBPPE X P ≠ B P $BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$EXP \neq BPP$

ในความเป็นจริงแม้แต่การแยกตัวของ BPP ภายใต้ PTH ที่ไร้ขีด จำกัด มักจะนำมาซึ่งโดยไม่มีเงื่อนไข ดังนั้นสิ่งกีดขวางใด ๆ ที่นำไปใช้กับการพิสูจน์พวกเขาจะนำไปใช้ในการพิสูจน์ข้อความว่าE X P ≠ B P $EXP \neq BPP$$EXP \neq BPP$

ไม่ยากที่จะได้รับลำดับชั้นของเวลาที่น่าจะเป็นถ้า BPP = EXP ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่มีการสุ่มตัวอย่างมากนัก