28

โพสต์บล็อกของ Scott Aaronson วันนี้ให้รายการของปัญหา / งานเปิดที่น่าสนใจในความซับซ้อน หนึ่งในความสนใจของฉัน:

สร้างห้องสมุดสาธารณะของอินสแตนซ์ 3SAT โดยมีตัวแปรและส่วนคำสั่งน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (ตัวอย่างเช่นอินสแตนซ์ที่เข้ารหัสความท้าทายแฟคตอริ่ง RSA) ตรวจสอบประสิทธิภาพของ SAT-solvers ที่ดีที่สุดในปัจจุบันบนห้องสมุดนี้

สิ่งนี้ก่อให้เกิดคำถามของฉัน: อะไรคือเทคนิคมาตรฐานในการลดปัญหา RSA / แฟ็กเตอริ่งให้ SAT และเร็วแค่ไหน มีการลดมาตรฐานเช่นนี้หรือไม่?

เพื่อให้ชัดเจนโดย "เร็ว" ฉันไม่ได้หมายถึงเวลาพหุนาม ฉันสงสัยว่าเรามีขอบเขตที่แน่นกว่าบนความซับซ้อนของการลดลงหรือไม่ ตัวอย่างเช่นมีการลดลูกบาศก์รู้จักหรือไม่

— Huck Bennett
แหล่งที่มา

26

วิธีหนึ่งในการเข้ารหัส Factoring (RSA) ถึง SAT คือการใช้วงจรทวีคูณ (ทุกวงจรสามารถเข้ารหัสเป็น CNF)

สมมติว่าเราจะได้รับจำนวนเต็มกับบิต, 2 เรามีความสนใจในการหาสองบิตจำนวนเต็มและที่มีสินค้าเป็น B $C$ $2n$ $C=(c_1,c_2,\cdots,c_{2n})_2$ $n$ $A=(a_1,\cdots,a_n)$ $A=(b_1,\cdots,b_n)$ $C=A*B$

การเข้ารหัสที่ไร้เดียงสาที่สุดสามารถเป็นดังนี้: เรารู้ว่า

c_{2 n} = a_{n} \land b_{n}

$c_{2n}= a_n \land b_n$

c_{2 n - 1} = (a_{n} \land b_{n - 1}) x o r (a_{n - 1} \land b_{n})

$c_{2n-1}= (a_n\land b_{n-1}) xor (a_{n-1}\land b_n)$

C a r r y : d_{2 n - 1} = (a_{n} \land b_{n - 1}) \land (a_{n - 1} \land b_{n})

$Carry:d_{2n-1}= (a_n\land b_{n-1}) \land (a_{n-1}\land b_n)$

c_{2 n - 2} = (a_{n} \land b_{n - 2}) x o r (a_{n - 1} \land b_{n - 1}) x o r (a_{n - 2} \land b_{n}) x o r d_{2 n - 1}

$c_{2n-2}= (a_n\land b_{n-2}) xor (a_{n-1}\land b_{n-1}) xor (a_{n-2}\land b_{n}) xor d_{2n-1}$ ...

จากนั้นใช้การแปลง Tseitin การเข้ารหัสข้างต้นสามารถแปลเป็น CNF

วิธีการนี้ทำให้เกิด CNF ที่ค่อนข้างเล็ก แต่การเข้ารหัสนี้ไม่สนับสนุน "Unit Propagation" ดังนั้นประสิทธิภาพของ SAT Solvers นั้นแย่มาก

มีวงจรอื่น ๆ สำหรับการคูณซึ่งสามารถใช้สำหรับจุดประสงค์นี้ได้ แต่จะสร้าง CNF ที่ใหญ่กว่า

— อาเมียร์
แหล่งที่มา

10

ในส่วนที่ 6.1 ของ "การค้นหาอินสแตนซ์ของปัญหาความพึงพอใจ: แบบสำรวจ" โดย Cook และ Mitchell พวกเขาใช้ปัญหานี้เป็นความท้าทาย

— อาเมียร์

คุณจะรู้ได้อย่างไรว่า A และ B ต้องมีความยาว n บิตไม่เป็น n - 1 และ n บิต แน่นอนมันสามารถเป็นบิต 2n และ 1 บิต

— Ilya Gazman

1

@Babibu: ถ้าเรากำลังพูดถึงการแยกตัวประกอบทั่วไปคุณพูดถูก แต่สำหรับกรณีของ RSA เรารู้ว่าแต่ละช่วงเวลาสองช่วงมีบิต

n

$n$

— อาเมียร์

ฉันเข้าใจคำตอบของคุณ แต่ฉันไม่รู้วิธีดำเนินการต่อ คุณช่วยกรุณาแสดงได้ไหม

c_{2 n - 2}

$c_{2n−2}$

— Ilya Gazman

แล้วRSA-129

— Ilya Gazman

18

ขยายสิ่ง @Amir เขียนผมมาในหน้าเว็บต่อไปนี้มีความสุขซึ่งเป็นเจ้าภาพจัดกำเนิด CNF สำหรับวงจรแฟว่าสามารถเช่นการทำงานในบางส่วนของ (ตอนนี้ไม่ได้ใช้งาน) อาร์เอแฟท้าทาย ตัวเลข อินสแตนซ์ที่สร้างอยู่ในDIMACSรูปแบบที่สามารถโดยตรงจะเลี้ยงคนใดคนหนึ่งในคู่แข่งที่ปัจจุบันในปีSAT แก้ การแข่งขัน สำหรับกรณีทั่วไปเกี่ยวกับ SAT ปัญหามาตรฐานที่ได้รับจากเว็บไซต์การแข่งขัน SAT นั้นค่อนข้างมีประโยชน์และการจัดประเภทเป็นแบบสุ่ม / งานฝีมือ / อุตสาหกรรมก็ดี

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

1

ลิงค์นั้นเจ๋งมาก!

— Huck Bennett

หากคุณลองป้อนหนึ่งในตัวเลขเหล่านั้นคุณจะพบว่าซอร์สโค้ดของพวกเขาใช้ประเภทข้อมูล int และดังนั้นจึงสามารถเก็บตัวเลข 32 บิตได้เท่านั้นในขณะที่หมายเลข RSA ที่ไม่ได้กรองเริ่มต้นที่หลายร้อยบิต

— Elliot Gorokhovsky

11

นี่คือบทความเกี่ยวกับการสร้างอินสแตนซ์ SAT จากการแยกตัวประกอบ:

Horie, S. & Watanabe, O. [1997] " อัลกอรึทึมการสร้างฮาร์ดสำหรับ SAT " อัลกอริทึมและการคำนวณ 1350: 22-31 ( pdf )

มันเลวร้ายยิ่งกว่าการเชิงเส้น แต่ดีกว่า 2 หมายเลขประเภทความท้าทาย RSA 512 บิตสร้างอินสแตนซ์ที่มีตัวแปร 63,652 และ 406,860 ส่วน $n^2$

— Lou Scheffer
แหล่งที่มา

9

ToughSatโดยเฮนรี่และโจเซฟ Yuen Bebel เป็นอีกเครื่องมือหนึ่งที่คล้ายกับการเชื่อมโยงโดย @ Martin ซึ่งจะสร้างสูตร CNF ว่ากรณีการเข้ารหัสของแยกตัวประกอบและปัญหาการแข็งอื่น ๆ

— Alessandro Cosentino
แหล่งที่มา

1

Scott blogged เกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย: scottaaronson.com/blog/?p=676

— Alessandro Cosentino

0

ดูsatfactor:

แปลงการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นปัญหา SATISFIABILITY

เชนเนฟ

ภาพรวม

การพิจารณาปัจจัยของจำนวนเต็มจำนวนมากเป็นที่สนใจของมนุษย์มาตั้งแต่สมัยของยูคลิดอย่างน้อย ไม่มีอัลกอริทึมทั่วไปที่รู้จักกันดีสำหรับปัญหานี้ที่ปรับขนาดในเวลาน้อยกว่าเลขชี้กำลังด้วยความเคารพต่อจำนวนบิตที่จำเป็นในการเป็นตัวแทนจำนวนเต็ม

รหัสนี้ทำอะไร

แปลงปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นปัญหา SATISFIABILITY แบบบูล หากปัญหาได้รับการแก้ไขโดยตัวแก้ SAT แล้วจะแยกปัจจัยจำนวนเต็ม

ตัวแก้ปัญหาความน่าเชื่อถือ Boolen ปรับปรุงทุกปี ทุก ๆ 2 ปีจะมีการแข่งขันระดับนานาชาติระหว่างนักแก้ปัญหา (ดู http://www.satcompetition.org/และhttp://www.satlive.org/ ) นักแก้ปัญหาที่ทันสมัยเหล่านี้สามารถทำอะไรได้ดีกับหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบเปิดที่เก่าแก่ที่สุดที่มีอยู่?

โครงการนี้มีวัตถุประสงค์หลัก 2 ประการคือ
1) แปลงปัญหาและตัวคูณจำนวนเต็มที่น่าสนใจ!
2) สร้างปัญหาที่แก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วหรือแก้ปัญหาความพึงพอใจที่ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็ว
- ในการสร้างปัญหา SATISFIABILITY ที่แก้ไม่ได้เพียงแค่เข้ารหัสหมายเลขเฉพาะ
- หากต้องการสร้างปัญหาที่ยากขึ้น แต่แก้ไขได้ให้เลือกหมายเลขคอมโพสิตที่ใหญ่ขึ้นด้วยปัจจัยที่น้อยลง

จำนวนที่สนใจอาจมีขนาดใดก็ได้!

มีตัวแก้ปัญหา SATISFIABILITY โอเพนซอร์สอยู่บ้าง ดูhttp://www.satlive.org/สำหรับบางส่วนของเหล่านี้

สร้าง

ทำ -C src /

ทำอย่างไร

ป้อนจำนวนที่น่าสนใจในรูปแบบไบนารี:

bin / iencode 10101> composite.21
// แก้ปัญหาด้วยตัวแก้ไขที่คุณชื่นชอบและใส่ผลลัพธ์ใน solution.txt
bin / extract-sat composite.21 solution.txt

ผลลัพธ์จะเป็น:
00011
00111

ซึ่งเป็นตัวแทนไบนารีสำหรับจำนวนเต็มทศนิยม 3 และ 7 ปัจจัยของ 21

หากจำนวนเต็มอินพุทมีมากกว่า 2 ปัจจัยและปัญหา SAT ได้รับการแก้ไขผลลัพธ์จะเป็นสองปัจจัยเท่านั้น สิ่งเหล่านี้อาจไม่ใช่ตัวเลขเฉพาะ (คุณสามารถทดสอบได้อย่างง่ายดายใน Maxima, Maple หรือ Mathematica)

เครื่องมือแก้ปัญหา SAT ทั้งหมดไม่ได้ให้ผลลัพธ์ในรูปแบบเดียวกัน คุณอาจต้องพบแพทย์ผลลัพธ์เหล่านั้นเล็กน้อย extract-sat ต้องการไฟล์โซลูชันที่มีรายการจำนวนเต็ม (ในจำนวนบรรทัดใด ๆ ) ตัวอย่างเช่น,

1 -2 3 4 -5 ...

— Geremia
แหล่งที่มา

1

คุณสามารถสรุปเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้โดยซอฟต์แวร์นี้ได้หรือไม่? ในเว็บไซต์นี้เราสนใจอัลกอริทึมและเทคนิคมากกว่าการโฆษณาเครื่องมือซอฟต์แวร์ ตัวอย่างเช่นคำถามสำหรับความซับซ้อนของการลด ฉันไม่เห็นว่าคุณตอบคำถามได้อย่างไร บนไซต์ Stack Exchange คุณควรตอบถ้าคุณสามารถตอบคำถามเฉพาะที่ถูกถาม นอกจากนี้คุณมีความสัมพันธ์กับเครื่องมือหรือผู้เขียนหรือไม่?

— DW

ลดอย่างรวดเร็วจาก RSA เป็น SAT

แปลงการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นปัญหา SATISFIABILITY

ภาพรวม

รหัสนี้ทำอะไร

สร้าง

ทำอย่างไร