อัลกอริธึมอะไรที่เป็นที่รู้จักกันดีสำหรับการคำนวณ interpolants ของ Craig

มีการสำรวจขั้นตอนวิธีการคำนวณหน่วยประมวลผลกลางหรือไม่? สิ่งที่เกี่ยวกับกระดาษในอัลกอริทึมเดียวเท่านั้น กรณีที่ฉันสนใจมากที่สุดคือและC = qรวมถึงข้อ จำกัด ที่หน่วยงานตำรวจมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (ฉันรู้จากหนังสือพิมพ์ของ McMillan ตั้งแต่ปีพ. ศ. 2548ซึ่งอธิบายถึงวิธีการรับ interpolants ในขณะที่หลีกเลี่ยง quantifiers)$A=\lnot p\land q$$C=q$

ที่มา: ทฤษฎีการประมาณค่าของ Craig (1957) บอกว่าถ้าโดยที่Aคือสูตร( fol ) ในT AและCเป็นสูตรของT Cดังนั้นจะมีสูตรBเช่นนั้น⊢ T → Bและ⊢ T C B → C สูตรBเป็นหน่วยสอดแทรกระหว่าง CraigกับAและ$\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$$A$$T_A$$C$$T_C$$B$$\vdash_{T_A}A\to B$$\vdash_{T_C}B\to C$$B$$A$$C$(หรือในคำจำกัดความอื่นของและ¬ C ) interpolant จิ๊บจ๊อยของ¬ พี∧ QและQเป็นQ , แต่ฉันต้องการขนาดเล็ก interpolant สำหรับบางคำนิยามที่เหมาะสมของ 'เล็ก' (เช่นขนาดของประโยค) (Interpolants มีประโยชน์หลายอย่างและในกรณีที่คุณอยากรู้อยากเห็นนี่คือหนึ่ง )$A$$\lnot C$$\lnot p\land q$$q$$q$

แรงจูงใจ:สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์ในการตรวจสอบโปรแกรมแบบเพิ่มมากขึ้น (มาก) ผ่านการสร้างเงื่อนไขการตรวจสอบ

ลองดูที่วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของHimanshu Jain , ตรวจสอบการใช้ Satisfiability การตรวจสอบ, คำกริยาที่เป็นนามธรรมและเครกแก้ไข เขาพิจารณาประสิทธิภาพการทำงานของเทคนิคพื้นฐานหลายอย่างพร้อมกับการประยุกต์ใช้ในการตรวจสอบและมีบทเกี่ยวกับการแก้ไขของสูตรที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นและไดโอแฟนไทน์

เขามองสิ่งที่ฉันรู้ว่าเป็นวิธีการเชื่อมต่อของ Bibel โดยเฉพาะซึ่งเขาเรียกว่า General Matings สิ่งเหล่านี้เป็นพื้นฐานของกราฟแทนที่จะใช้การอนุมานสูตรเป็นฐานเพื่อสร้างความพึงพอใจ หากคุณกำลังสนใจในตัวเขาโดยทั่วไปให้ฉันขอแนะนำให้โดมินิกฮิวจ์สมีเหตุผลสั้น ๆ (11 หน้า) พิสูจน์ได้โดยไม่ต้องไวยากรณ์

น่าสนใจว่ามีการเชื่อมต่อระหว่างการตัดกับทฤษฎีบทการแก้ไขคือ ประการแรกทฤษฎีบทการแก้ไขทั้งหมดดูเหมือนว่าย้อนกลับของการกำจัดกฎการผสมที่ใช้ระหว่างการตัดการตัดออก การกำจัดนี้พูดว่า:

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

ตอนนี้รูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทการแก้ไขโดยใช้หลักฐานอันปราศจากการตัดสามารถทำได้ดังนี้ มันเป็นรุ่นที่กลับหัวกลับหางของการกำจัด มันเริ่มต้นด้วย G, D | - B และให้ G | - A และ D, A | - B:

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

ฉันใส่เซมิโคลอนระหว่างจุดมุ่งหมาย G กับ D นี่คือจุดที่เราวาดเส้นซึ่ง premisses ที่เราต้องการเห็นเป็นการส่งหน่วยสอดแทรกและจุดที่เราต้องการเห็นโดยใช้หน่วยสอดแทรก

เมื่ออินพุตเป็นการพิสูจน์แบบไม่มีการตัดความพยายามของ algroithm จะแปรผันตามจำนวนของโหนดของการพิสูจน์แบบฟรีคัท ดังนั้นในทางปฏิบัติมันเป็นวิธีการเชิงเส้นในการป้อนข้อมูล ในแต่ละขั้นตอนการพิสูจน์ของการพิสูจน์แบบไม่มีการตัดขั้นตอนวิธีจะประกอบหน่วยสอดแทรกโดยแนะนำการเชื่อมต่อใหม่

ข้อสังเกตข้างต้นมีไว้สำหรับการสร้างการแก้ไขอย่างง่ายโดยที่เราเพียงต้องการให้หน่วยสอดแทรกมีข้อเสนอพร้อมกันจาก G และ D Interpolants ที่มีเงื่อนไขตัวแปรต้องใช้ขั้นตอนเพิ่มขึ้นอีกเล็กน้อย

อาจมีการเชื่อมต่อระหว่างการย่อเล็กสุดของการพิสูจน์แบบไม่มีการตัดและขนาดของการสอดแทรก หลักฐานที่ปราศจากการตัดบางส่วนนั้นมีเพียงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นหลักฐานอันสม่ำเสมอมักจะสั้นกว่าการพิสูจน์แบบไม่มีการตัด บทแทรกสำหรับการพิสูจน์เหมือนกันนั้นค่อนข้างง่ายแอปพลิเคชันกฎของฟอร์ม:

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

สามารถหลีกเลี่ยงได้เมื่อ B ไม่ได้ใช้ในการพิสูจน์ C เมื่อไม่ได้ใช้ B ในการพิสูจน์ C เรามี G | - C อยู่แล้วดังนั้นด้วยการทำให้ G, A -> B | - C อ่อนลง อัลกอริทึมที่กล่าวถึงที่นี่จะไม่ใส่ใจกับเรื่องนี้

ขอแสดงความนับถืออย่างสูง

ข้อมูลอ้างอิง: ทฤษฎีบทการแก้ไขของ Craig ได้ทำพิธีและใช้เครื่องจักรใน Isabelle / HOL, Tom Ridge, University of Cambridge, 12 ก.ค. 2549 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

การ refence ข้างต้นไม่ได้แสดงการประมาณค่าเดียวกันอย่างแน่นอนเนื่องจากใช้หลายชุดในส่วนสรุปของลำดับ นอกจากนี้มันไม่ได้ใช้ประโยชน์จากความหมาย แต่มันเป็นเรื่องที่น่าสนใจเพราะมันรองรับการอ้างสิทธิ์ที่ซับซ้อนของฉัน, และมันแสดงให้เห็นถึงการยืนยันทางกลไก

เป็นเวลากว่าสองปีแล้วที่คำถามนี้ถูกถาม แต่ในเวลานั้นมีการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณหน่วยประมวลผลของเครก นี่เป็นพื้นที่การวิจัยที่กระตือรือร้นมากและไม่สามารถให้รายชื่อที่ครอบคลุมได้ที่นี่ ฉันได้เลือกบทความมากกว่าโดยพลการด้านล่าง ฉันขอแนะนำบทความต่อไปนี้ที่อ้างอิงพวกเขาและอ่านส่วนงานที่เกี่ยวข้องเพื่อให้ได้ภาพทิวทัศน์ที่ชัดเจน

1. การสร้าง Interpolant ที่มีประสิทธิภาพในทฤษฎี Modulo ที่น่าพอใจ Alessandro Cimatti, Alberto Griggio, Roberto Sebastiani, ACM TOCL, 2010

   ครอบคลุมการสอดแทรกสำหรับการคำนวณเชิงเส้นเชิงตรรกะตรรกะและเหตุผลความแตกต่างจำนวนเต็มและหน่วยสองตัวแปรต่อตรรกะความไม่เท่าเทียมกัน (UTVPI)

2. การสร้าง Interpolant ที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณโมดูโลแบบเชิงเส้นที่น่าพอใจอัลเบอร์โตกริกจิโอ, Thi Thieu Hoa Le และ Roberto Sebastiani 2010

3. วิธีการผสมสำหรับการสร้างหน่วย Interpolants , Greta Yorsh และ Madanlal Musuvathi 2005

   แสดงให้เห็นถึงวิธีการสร้าง interpolants ในที่ที่มีการรวมกันของทฤษฎีเนลสัน - Oppen

4. การแก้ไขพื้นดินสำหรับทฤษฎีความเท่าเทียมกัน , Alexander Fuchs, Amit Goel, Jim Grundy, Sava Krstic, Cesare Tinelli 2011

5. การแก้ไขจากการสร้างอินสแตนเซชันสมบูรณ์ Nishant Totla และ Thomas Wies 2012

6. Interpolants เป็น Classifiers , Rahul Sharma, Aditya V. Nori และ Alex Aiken, 2012