ปัญหาที่ตั้งสถานที่เก็บประจุยูคลิด

ในปัญหาสถานที่เก็บประจุ (CFLP)เราได้รับชุดของลูกค้า$C$ และสิ่งอำนวยความสะดวกที่มีศักยภาพ $F$. ลูกค้าแต่ละราย$j \in C$ มีความต้องการ $d_j$ที่ต้องให้บริการโดยสิ่งอำนวยความสะดวกแบบเปิดหนึ่งแห่งขึ้นไป แต่ละสถานที่$i \in F$ มีค่าใช้จ่ายในการเปิด $f_i$ และมีความจุ $u_i$ซึ่งเป็นความต้องการสูงสุดของสถานที่นั้น $i$สามารถให้บริการ ต้นทุนการให้บริการความต้องการของลูกค้าหนึ่งหน่วย$j$ ในสถานที่ $i$ คือ $c_{ij}$. เราต้องการเปิดส่วนย่อยของสิ่งอำนวยความสะดวกและกำหนดความต้องการของลูกค้าเพื่อเปิดสิ่งอำนวยความสะดวกเช่นความต้องการของลูกค้าทั้งหมดจะได้พบกับไม่มีข้อ จำกัด กำลังการผลิตและลดต้นทุนรวมของสิ่งอำนวยความสะดวกเปิดและลูกค้าบริการลดลง ต้นทุนการบริการนั้นเป็นค่าลบไม่สมมาตรและสนองความไม่เท่าเทียมของสามเหลี่ยม

Arora ใน [ 1 , หน้า 21] ระบุว่า "Arora, Raghavan และ Rao [ 2 ] ให้ PTAS สำหรับกรณีเรขาคณิตพวกเขาขยายอัลกอริทึมไปยังกรณีที่เก็บประจุ แต่ทางออกสุดท้ายอาจละเมิดข้อ จำกัด ของความจุเล็กน้อย เขามีความหมายว่าอะไร "จำนวนเล็กน้อย"? ฉันเดาว่าหมายความว่าพวกเขาให้ PTAS ที่ละเมิดข้อ จำกัด ด้านความสามารถภายในปัจจัย$(1+\epsilon)$ สำหรับการโดยพลการ $\epsilon > 0$. ถูกต้องหรือไม่

เมื่อฉันดูใน [ 2 ] ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องเท่านั้นที่ฉันพบคือ$n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$ อัลกอริทึมเวลาสำหรับการค้นหา $(1+\epsilon)$-approximate ทางออกสำหรับการเก็บประจุ $k$ปัญหาที่เกิดขึ้นเมื่อเรามีความจุเท่ากัน Arora อ้างถึงผลลัพธ์ข้างต้นใน [ 1 ] หรือไม่?

[ 1 ] S. Arora โครงร่างการประมาณสำหรับปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดทางเรขาคณิตของ NP-hard: แบบสำรวจ ในวิชาคณิตศาสตร์ การเขียนโปรแกรม, Ser. B, ฉบับ 97, pp 43-69, 2003

[ 2 ] S. Arora, P. Raghavan และ S. Rao แผนการประมาณค่าแบบยุคลิดแบบยู - ไลด์และปัญหาที่เกี่ยวข้อง ในพรอ. การประชุมวิชาการ ACM ครั้งที่ 30 เรื่องทฤษฎีคอมพิวเตอร์, หน้า 106–113, 2541

ถ้าฉันถูกต้องคุณต้องประมาณจำนวนลูกค้าที่เชื่อมต่อกับแต่ละประตู มิฉะนั้นคุณจะได้รับสิ่งที่ชอบทันที$O(n^{O(g)})$ที่ไหน $g$คือจำนวนของประตูในโปรแกรมย่อย โดยประมาณตัวเลขนี้จนถึง facotr ของ$(1+\varepsilon/\log n)$ ตลอดการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกหนึ่งจะได้รับ $(1+\varepsilon)$ข้อผิดพลาดในที่สุด ที่จะให้เวลาทำงานคล้ายกับที่คุณระบุไว้ข้างต้น