นิพจน์ mu-recursive ชัดเจนสำหรับฟังก์ชัน Ackerman

คุณช่วยชี้ให้เห็นถึงวิธีการสร้างฟังก์ชั่น Ackerman (อันที่จริงฉันสนใจรุ่นที่เสนอโดยRózsaPéterและ Raphael Robinson) ผ่านผู้ให้บริการ mu-recursive มาตรฐานหรือไม่? ฉันลองใช้เอกสารต้นฉบับโดยPéterและ Robinson แต่กระดาษของPéterใช้ภาษาที่แตกต่างจากเอกสารภาษาอังกฤษและของโรบินสัน“ การเรียกซ้ำและการเรียกซ้ำสองครั้ง” และ“ ฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม” ก็ไม่ได้ช่วยอะไรเลย เรียกตัวดำเนินการเรียกซ้ำสองครั้งเพื่อกำหนดฟังก์ชัน Ackerman ดังนั้นในกรณีนี้คำจำกัดความที่ชัดเจนของผู้ประกอบการในเงื่อนไข mu-recursive จะถูกค้นหา

คำตอบที่ใกล้ที่สุดที่สุดคือพี. สมิ ธ ใน“ คำนำของทฤษฎีบทของ Godel” (CUP, 2007) (29.4 ฟังก์ชัน Ackermann-Peter นั้นเป็นμ-recursive) แต่เขากลับมาพร้อมกับสิ่งต่อไปนี้: น่าเบื่อ แต่ก็ไม่ยาก ไม่มีอะไรที่จะเรียนรู้ได้จากการสะกดรายละเอียดที่นี่: ดังนั้นเราจะไม่ทำ”

ฉันยังลองหนังสือของRózsaPéter“ ฟังก์ชั่นวนซ้ำ” (1967, Academic Press) มีตัวแปรมากมายสำหรับตัวดำเนินการเรียกซ้ำที่ให้ไว้ โดยปกติจะลดลงหนึ่งไปยังอีก ฉันเชื่อว่ามีตัวดำเนินการเรียกซ้ำที่เหมาะสมกับคำนิยามของฟังก์ชัน Ackerman และลำดับขั้นตอนที่ลดไปที่ตัวดำเนินการเรียกซ้ำและการย่อขนาดดั้งเดิม แต่ฉันพบว่าตัวเองไม่สามารถตรวจสอบได้ทั้งหมด

computability

— Artem Pelenitsyn
แหล่งที่มา

จริงๆแล้วนี่ไม่ยากอย่างที่คิดในตอนแรก เคล็ดลับคือการให้โอเปอเรเตอร์

ค้นหาการคำนวณของฟังก์ชัน Ackerman เช่นตารางค่าถึงอินพุตจากนั้นตรวจสอบว่าตารางเป็นไปตามคำจำกัดความของฟังก์ชัน สิ่งที่จำเป็นคือการเข้ารหัส / ถอดรหัสลำดับ จำกัด และตรวจสอบตาราง การเข้ารหัส / ถอดรหัสมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจนในตำราเรียนหลายเล่มการตรวจสอบสามารถทำได้โดยตัวระบุปริมาณสากลแบบมีขอบเขตบนความสัมพันธ์แบบง่าย ๆ ระหว่างรายการของตาราง ปริมาณสากลที่ถูก จำกัด ขอบเขตสามารถแสดงเป็นการคูณที่มีขอบเขต

μ

$\mu$

— Kaveh

และคำจำกัดความที่ชัดเจนของการคูณที่ถูกผูกไว้ในแง่ของ

-recursion สามารถพบได้ในตำรา

μ

$\mu$

— Kaveh

@ Kaveh ใช่แนวคิดเดียวกันนี้ได้นำไปใช้ใน "การแนะนำทฤษฎีบทของ Godel" ของ P. Smith การเข้ารหัสและการประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการย่อเล็กสุดจะได้รับที่นั่น ส่วนที่ยุ่งยากคือวิธีสร้าง“ ตาราง” ตามที่คุณตั้งชื่อ สมิ ธ ข้ามมันไป ดังนั้นดูเหมือนว่าฉันจะต้องคิดให้หนักขึ้นแทนที่จะรอวิธีแก้ปัญหาที่นี่;) อย่างน้อยก็ขอขอบคุณที่คุณอนุมัติแนวทางทั่วไป

— Artem Pelenitsyn

ตารางเป็นเพียงลำดับที่แน่นอนที่รายการถูกทำดัชนีโดยผลลัพธ์ของฟังก์ชันการจับคู่

โดยที่

μ c : \forall x < L e n (c) \forall y, z < x, x =< y, z >\to c_{< y, z >} = R (c, x, y)

$\mu c: \forall x<Len(c) \forall y,z<x , x=<y,z> \to c_{<y,z>} = R(c,x,y)$

R (c, x, y)

$R(c,x,y)$ เป็น RHS ของสมการสำหรับ

)

A c k (x, y)

$Ack(x,y)$

— Kaveh

คำตอบ:

การทำลายฟังก์ชั่น Ackermann ไปจนถึงผู้ให้บริการระดับประถมศึกษานั้นจะค่อนข้างยาว แต่นี่เป็นภาพร่าง:

ทราบว่าเมื่อคำนวณซ้ำที่จุดของการคำนวณที่คุณจะจัดการกับการแสดงออกในรูปแบบใด ๆ . ระบุ ฟังก์ชันจับคู่ bijective มีค่าผกผัน , เราสามารถเข้ารหัสสถานะนี้เป็น $A(m,x)$ $A(m_1,A(m_2,\dots,A(m_k,z)\dots)$ $p$ $(\pi_1,\pi_2)$ (เพียงในกรณี ) จากนั้นเราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นการประเมินแบบขั้นตอนเดียวได้รับสถานะ: $p(z,p(k,p(m_k,\dots,p(m_2,m_1)\dots)$ $p(z,0)$ $k=0$

; $e(p(z,0)) = p(z,0)$

; $e(p(z,p(k,p(0,c)))) = p(z+1,p(k-1,c))$

; $e(p(0,p(k,p(m+1,c)))) = p(1,p(k,p(m,c)))$

) $e(p(z+1,p(k,p(m+1,c)))) = p(z,p(k+1,p(m+1,p(m,c))))$

จากนั้นคุณจะได้รับฟังก์ชั่นการประเมินขั้นตอน n โดยใช้การเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม:

และ ) $E(0,m,x) = p(x,p(1,m))$ $E(n+1,m,x) = e(E(n,m,x))$

สุดท้ายห่อ -recursion รอบเพื่อหาจุดที่เราได้รับให้กับรัฐในรูปแบบ - จะ ) $\mu$ $E$ $p(z,0)$ $z$ $A(m,x)$

— Klaus Draeger
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! อีกหนึ่งคำถาม (อาจจะไร้เดียงสาขอโทษ): คำจำกัดความการจับคู่รูปแบบ (f (0) = ... , f (n + 1) = ... ) ใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่ฉันสงสัยว่าพวกเขาได้รับการยกย่องโดย ความหมายของฟังก์ชั่น mu-recursive ที่พวกเขา?

— Artem Pelenitsyn

ชนิดของกรณีความแตกต่างนี้ (ตัวอย่างเช่นการกำหนด

โดย

และ

) เป็นเพียงกรณีพิเศษ การเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมที่ไม่ได้ใช้ค่าก่อนหน้า ในการคำนวณ

คุณจะต้องใช้ฟังก์ชั่นเสริมและผกผัน

f (x, y)

$f(x,y)$

f (0, y) = g (y)

$f(0,y)=g(y)$

f (x + 1, y) = h (x, y)

$f(x+1,y) = h(x,y)$

A (x, y)

$A(x,y)$

ค่อนข้างน้อยถ้าคุณต้องการแยกมันออกเป็นชุดปฏิบัติการพื้นฐาน

π_{1}, π_{2}

$\pi_1,\pi_2$

— Klaus Draeger

ตัวอย่างเช่นคุณสามารถแปลความหมายของ

เป็น

โดยที่

และ

e

$e$

e (s) = f_{1} (π_{1} (s), π_{2} (s))

$e(s)=f_1(\pi_1(s),\pi_2(s))$

f_{1} (z, 0) = p (z, 0)

$f_1(z,0)=p(z,0)$

ที่

คุณได้รับความคิด

f_{1} (z, m + 1) = f_{2} (z, π_{1} (m + 1), π_{2} (m + 1))

$f_1(z,m+1)=f_2(z,\pi_1(m+1),\pi_2(m+1))$

f_{2} \dots

$f_2\dots$

— Klaus Draeger

นี่เป็นความแตกต่างของความคิดที่โพสต์โดย Kaveh แต่ฉันกำลังโพสต์ต่อไปเนื่องจากมันช่วยให้คุณสามารถกวาดรายละเอียดที่น่ารังเกียจมากมายภายใต้พรมปูพื้นได้โดยไม่ต้องทำด้วยมือ

ความจริงที่สำคัญคือกราฟของฟังก์ชัน Ackermann เป็นแบบเรียกซ้ำ มันไม่ยากที่จะหาน้ำมันดิบมากดั้งเดิม recursive ผูกพันในรหัสสำหรับตารางค่า Ackermann ที่จำเป็นในการตรวจสอบว่า Wอย่าพยายามทำให้คมชัด - การไล่ล่านั้นง่ายกว่า! บางอย่างเช่น $B(m,n,w)$ $A(m,n) = w$ $B(m,n,w) = 2^{mw^w}$ ควรจะดีพอ แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกรูปแบบการเข้ารหัสของคุณ เนื่องจากการตรวจสอบค่าตารางสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรที่มีขอบเขตดังนั้นจึงเป็นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

เมื่อคุณมีนิยามแบบเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมสำหรับกราฟของฟังก์ชัน Ackermann เพียงกำหนด $G(m,n,w)$ ) $A(m,n) = \mu w\,G(m,n,w)$

น่าเศร้ากลยุทธ์นี้ใช้ไม่ได้กับทุกฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยการเรียกซ้ำสองครั้ง (หรือหลายครั้ง) เหตุผลที่มันใช้งานได้กับฟังก์ชั่น Ackermann - อย่างที่คุณจะเห็นเมื่อพยายามหาที่ดีนั่นก็คือมันโตขึ้นอย่างน่าเบื่อ สำหรับกรณีทั่วไปคุณต้องใช้ความคิดของ Kaveh และมีมองหาตารางค่าที่เหมาะสม นี่เป็นเหตุผลเดียวกันว่าทำไมทฤษฎีบทรูปแบบปกติของคลีนจึงจำเป็นต้องทำการฉายภาพหลังจากใช้โอเปอเรเตอร์ $B(m,n,w)$ $\mu$ $\mu$

— François G. Dorais
แหล่งที่มา

สวัสดีFrançois ยินดีที่ได้พบคุณในโรงละคร

— Kaveh

สวัสดี Kaveh ยินดีที่ได้ตอบบางสิ่งที่นี่ในที่สุด!

— François G. Dorais