หลักฐานการปั๊มบทแทรกสำหรับภาษาที่ไม่มีบริบทโดยใช้แบบกดลงอัตโนมัติ

แทรกสูบน้ำสำหรับภาษาที่ปกติสามารถพิสูจน์ได้โดยพิจารณาหุ่นยนต์สถานะ จำกัด ซึ่งถือเป็นภาษาที่เรียนยกสตริงที่มีความยาวมากขึ้นกว่าจำนวนของรัฐและการประยุกต์ใช้หลักรังนกพิราบ แทรกสูบน้ำสำหรับภาษาบริบทฟรี (เช่นเดียวกับแทรกอ็อกเดนซึ่งเป็นเล็กน้อยทั่วไปมากขึ้น) แต่จะได้รับการพิสูจน์โดยพิจารณาไวยากรณ์บริบทของภาษาการศึกษาการเลือกสายยาวพอและกำลังมองหาต้นไม้แยก

เมื่อพิจารณาถึงความคล้ายคลึงกันของบทแทรกสองบทคุณคาดหวังว่าบทพิสูจน์ที่ไม่มีบริบทสามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกันกับบทสนทนาทั่วไปโดยพิจารณาจากการกดออโตเมติกแบบกดลงซึ่งจดจำภาษามากกว่าไวยากรณ์ อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาการอ้างอิงถึงหลักฐานดังกล่าวได้

ดังนั้นคำถามของฉัน: มีหลักฐานของบทแทรกสำหรับภาษาที่ไม่มีบริบทซึ่งเกี่ยวข้องกับออโตมาดาวน์และไม่ใช่แกรมม่าเท่านั้น

ฉันคิดถึงปัญหานี้อีกครั้งและฉันคิดว่าฉันมีหลักฐานครบถ้วน มันค่อนข้างยุ่งยากกว่าที่ฉันคาดไว้ ความเห็นยินดีต้อนรับมาก! อัปเดต:ฉันส่งหลักฐานนี้ใน arXiv ในกรณีที่มีประโยชน์กับใครบางคน: http://arxiv.org/abs/1207.2819

$\DeclareMathOperator{\fp}{fp}$ $\DeclareMathOperator{\lp}{lp}$ $\newcommand{\fpp}[1]{\widehat{\fp{#1}}}$ $\newcommand{\lpp}[1]{\widehat{\lp{#1}}}$

ให้$L$เป็นภาษาบริบทฟรีผ่านตัวอักษร\$\Sigma$ให้เป็นหุ่นยนต์ที่ขยายลงซึ่งตระหนักLกับสแต็คตัวอักษร\ แกมมา เราแสดงโดย| A | จำนวนของรัฐของ เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของA pop เป็นสัญลักษณ์สูงสุดของสแต็กและไม่มีการกดสัญลักษณ์บนสแต็กหรือกดที่สแต็กสัญลักษณ์บนสุดก่อนหน้าและสัญลักษณ์อื่น ๆ$A$$L$$\Gamma$$|A|$$A$$A$

เรากำหนดและระยะเวลาในการปั๊มและจะแสดงให้เห็นว่านั้นมีการสลายตัวของรูปแบบเช่นนั้น ,และLp ′ = | A | 2 | Γ | p = | A | ( | Γ | + 1 ) p ′ w ∈ L | w | > p w = u v x y z | v x y | ≤ p | v y | ≥ 1 ∀ n ≥ 0 , คุณv n$p' = |A|^2 |\Gamma|$$p = |A| (|\Gamma|+1)^{p'}$$w \in L$$|w| > p$$w = u v x y z$$|vxy| \leq p$$|vy| \geq 1$$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$

ให้เช่นนั้น . ให้เป็นเส้นทางที่ยอมรับความยาวน้อยที่สุดสำหรับ (แสดงเป็นลำดับของช่วงการเปลี่ยนภาพ ) เราแสดงความยาวโดย. เราสามารถกำหนดสำหรับ,ขนาดของสแต็กที่ตำแหน่งของพา ธ การยอมรับ สำหรับทั้งหมดเรากำหนด levelเหนือเป็นชุดของสามดัชนีกับเช่นนั้น:$w \in L$$|w| > p$$\pi$$w$$A$$|\pi|$$0 \leq i < |\pi|$$s_i$$i$$N > 0$$N$$\pi$$i, j, k$$0 \leq i < j < k \leq p$

1. $s_i = s_k, s_j = s_i + N$
2. สำหรับทั้งหมดเช่น ,n ฉัน≤ n ≤ J s ฉัน ≤ s n ≤ s $n$$i \leq n \leq j$$s_i \leq s_n \leq s_j$
3. สำหรับทุกดังกล่าวว่า ,s_kn j ≤ n ≤ k s k ≤ s n ≤ s $n$$j \leq n \leq k$$s_k \leq s_n \leq s_k$

(สำหรับตัวอย่างนี้ดูรูปภาพสำหรับกรณีที่ 2 ด้านล่างซึ่งแสดงระดับ )$N$

เรากำหนดระดับของเป็นค่าสูงสุดซึ่งมี ระดับคำจำกัดความนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคุณสมบัติต่อไปนี้: หากขนาดของสแต็คเหนือพา ธมีขนาดใหญ่กว่าระดับดังนั้นสัญลักษณ์สแต็กที่มีความลึกมากกว่าระดับจะไม่ปรากฏขึ้น ตอนนี้เราจะแยกความแตกต่างสองกรณี: อย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งในกรณีนี้เรารู้ว่าการกำหนดค่าเดียวกันสำหรับสถานะออโตมาตาและสัญลักษณ์สูงสุดของสแต็กจะพบสองครั้งในขั้นตอนแรกของหรือl π N π N π l $l$$\pi$$N$$\pi$$N$$\pi$$l$$l$ l < p ′ l p + 1 π l ≥ p $l < p'$$l$$p+1$$\pi$$l \geq p'$และจะต้องมีการวางซ้อนและตำแหน่ง unstacking ที่สามารถทำซ้ำจำนวนข้อของครั้งจากที่เราสร้างและYv $v$$y$

Case 1 <p' เรากำหนดค่าของเป็นคู่ของสถานะและลำดับของสัญลักษณ์สแต็ก (ที่สแต็กที่มีขนาดน้อยกว่ามีการแสดงโดย padding ให้เป็นด้วยสัญลักษณ์ว่างพิเศษซึ่งเป็นเหตุผลที่เราใช้เมื่อกำหนด ) ตามคำนิยามมี การกำหนดค่าดังกล่าวซึ่งมีค่าน้อยกว่าPดังนั้นในขั้นตอนแรกของ , การตั้งค่าเดียวกันจะพบสองครั้งที่สองตำแหน่งที่แตกต่างกันกล่าวว่า<J แสดงโดยl < p ′ A A l l l | Γ | + 1 p | A | ( |แกมมา| + 1 ) ลิตรพีพี+ 1 π ฉัน< J $l < p'$$A$$A$$l$$l$$l$$|\Gamma| + 1$$p$$|A| (|\Gamma| + 1)^l$$p$$p+1$$\pi$$i < j$$\widehat{i}$ (resp. ) ตำแหน่งของตัวอักษรตัวสุดท้ายของอ่านในขั้นตอนที่ (resp. ) ของ\เรามี{J} ดังนั้นเราสามารถแยกด้วย , , ,|} (โดยเราแสดงถึงตัวอักษรของจากรวมถึงเฉพาะตัวของ ) โดยการก่อสร้าง .$\widehat{j}$$w$$i$$j$$\pi$$\widehat{i} \leq \widehat{j}$$w = u v x y z$$y z = \epsilon$$u = w_{0 \cdots \widehat{i}}$$v = w_{\widehat{i} \cdots \widehat{j}}$$x = w_{\widehat{j} \cdots |w|}$$w_{x \cdots y}$$w$$x$$y$$|vxy| \leq p$

เราต้องแสดงให้เห็นว่าแต่สิ่งนี้ตามมาจากการสังเกตของเราด้านบน: สัญลักษณ์สแต็กที่ลึกกว่าไม่เคยถูกแยกดังนั้นจึงไม่มีทางแยกแยะได้ การกำหนดค่าที่เท่ากันตามคำจำกัดความของเราและเส้นทางการยอมรับสำหรับถูกสร้างขึ้นจากที่ของโดยทำซ้ำขั้นตอนระหว่างและ ,ครั้ง$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z = u v^n x \in L$$l$$u v^n x$$w$$i$$j$$n$

สุดท้ายเราก็มีเพราะถ้าเพราะเรามีการกำหนดค่าเดียวกันที่ขั้นตอนและใน ,จะเป็นเส้นทางการยอมรับสำหรับ , ขัดแย้ง minimality ของ\$|v| > 0$$v = \epsilon$$i$$j$$\pi$$\pi' = \pi_{0 \cdots i} \pi_{j \cdots |\pi|}$$w$$\pi$

(โปรดทราบว่ากรณีนี้มีจำนวนเท่ากับการใช้คำสั่งปั๊มสำหรับภาษาปกติโดยการเข้ารหัสสัญลักษณ์ stack สูงสุดในสถานะออโตเมติกซึ่งเพียงพอเนื่องจากมีขนาดเล็กพอที่จะให้แน่ใจว่ามีขนาดใหญ่กว่าจำนวนสถานะของหุ่นยนต์นี้ . เคล็ดลับหลักคือเราต้องปรับสำหรับ -transitions)$l$$l$$|w|$$\epsilon$

กรณีที่ 2. พี' ให้เป็นระดับ สำหรับขนาดสแต็คใด ๆ ,เราจะเชื่อมโยงการกดครั้งสุดท้ายและป๊อปแรก\}) ตามคำนิยามและk นี่คือภาพประกอบของการก่อสร้างนี้ เพื่อให้การวาดง่ายขึ้นฉันจะไม่แยกความแตกต่างระหว่างตำแหน่งของเส้นทางและตำแหน่งของคำที่เราจะต้องทำในภายหลัง$l \geq p'$$i, j, k$$p'$$h$$s_i \leq h \leq s_j$ $\lp(h) = \max(\{y \leq j | s_y = h\})$ $\fp(h) = \min(\{y \geq j | s_y = h\})$$i \leq \lp(h) \leq j$$j \leq \fp(h) \leq k$

เราบอกว่าสถานะทั้งหมดของสแต็กขนาดคือสามเท่าที่เกิดขึ้นโดย:$h$

1. สถานะของหุ่นยนต์ที่ตำแหน่ง$\lp(h)$
2. สัญลักษณ์สแต็คสูงสุดที่ตำแหน่ง$\lp(h)$
3. สถานะของหุ่นยนต์ที่ตำแหน่ง$\fp(h)$

นอกจากนี้เป็นไปได้รัฐเต็มรูปแบบและขนาดสแต็คระหว่างและ ดังนั้นโดยหลักการ pidgeonhole มีอยู่สองสแต็คขนาดกับ ดังกล่าวที่รัฐเต็มรูปแบบ ที่และเหมือนกัน เช่นเดียวกับในกรณีที่ 1 เรากำหนดโดย , ,และตำแหน่งของตัวอักษรสุดท้ายของอ่านได้ที่ตำแหน่งที่สอดคล้องกันใน\เราโดยที่$p'$$p' + 1$$s_i$$s_j$$g, h$$s_i \leq g < h \leq s_j$$g$$h$$\lpp(g)$$\lpp(h)$$\fpp(h)$$\fpp(g)$$w$$\pi$$w = u v x y z$$u = w_{0 \cdots \lpp(g)}$, , , และ|}$v = w_{\lpp(g) \cdots \lpp(h)}$$x = w_{\lpp(h) \cdots \fpp(h)}$$y = w_{\fpp(h) \cdots \fpp(g)}$$z = w_{\fpp(g) \cdots |w|}$

การแยกตัวประกอบนี้ทำให้มั่นใจได้ว่า (เพราะตามคำจำกัดความของระดับของเรา)$|vxy| \leq p$$k \leq p$

นอกจากนี้เรายังจะต้องแสดงให้เห็นว่าL ในการทำเช่นนั้นให้สังเกตว่าในแต่ละครั้งที่เราทำซ้ำเราจะเริ่มจากสถานะเดียวกันและบนสุดของสแต็คเดียวกันและเราจะไม่ปรากฏใต้ตำแหน่งปัจจุบันของเราในสแต็ก (มิฉะนั้นเราจะต้องกดอีกครั้งที่ตำแหน่งปัจจุบัน maximality ของ ) เพื่อให้เราสามารถติดตามเส้นทางเดียวกันในและกดลำดับสัญลักษณ์เดียวกันบนสแต็ก โดย maximality ของและ minimality ของในขณะที่อ่านเราจะไม่ปรากฏใต้ตำแหน่งปัจจุบันของเราในสแต็คดังนั้นเส้นทางที่ตามมาในหุ่นยนต์จะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงจำนวน ครั้งที่เราทำซ้ำ$\forall n \geq 0, u v^n x y^n z \in L$$v$$\lp(g)$$A$$\lp(h)$$\fp(h)$$x$$v$. ตอนนี้ถ้าเราทำซ้ำหลายครั้งตามที่เราทำซ้ำตั้งแต่เราเริ่มต้นจากสภาพเดียวกันเนื่องจากเรามีการผลักดันลำดับสัญลักษณ์เดียวกันในกองด้วยซ้ำของเราและเนื่องจากเราไม่ได้ปรากฏมากกว่าสิ่งที่มี stacked โดย minimality ของเราสามารถทำตามพา ธ เดียวกันในและ pop ลำดับสัญลักษณ์เดียวกันจาก stack ดังนั้นการยอมรับจากเส้นทางสามารถถูกสร้างขึ้นจากเส้นทางการยอมรับสำหรับW$w$$v$$v$$v$$\fp(g)$$A$$u v^n x y^n z$$w$

สุดท้ายเราก็มีเพราะเหมือนในกรณีที่ 1 ถ้าและเราสามารถสร้างเส้นทางที่ยอมรับได้สั้นกว่าสำหรับโดยการลบและ(g)}$|vy| > 1$$v = \epsilon$$y = \epsilon$$w$$\pi_{\lp(g)\cdots\lp(h)}$$\pi_{\fp(h)\cdots\fp(g)}$

ดังนั้นเรามีการแยกตัวประกอบที่เพียงพอในทั้งสองกรณีและผลลัพธ์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

(เครดิตไปที่ Marc Jeanmougin ที่ช่วยฉันในการพิสูจน์หลักฐานนี้)

ใช่มันเป็นไปได้ เราสามารถใช้แนวคิดของการกำหนดค่าพื้นผิว พวกเขาได้รับการแนะนำให้รู้จักกับ Cook มานานแล้ว ด้วยวิธีนี้มันค่อนข้างง่ายที่จะเอาเวอร์ชั่นของบทแทรก

สำหรับการกำหนดค่าพื้นผิวกระดาษเกือบทั้งหมดใน LogCFL ควรมีความหมายของมัน นี่คือรายงานล่าสุดและนี่คือวิทยานิพนธ์

บางทีคนที่มีพลังมากขึ้นก็สามารถสะกดรายละเอียดออกไป

เพื่อความสมบูรณ์การอ้างอิงถึงการพิสูจน์ในทิศทางนี้

A.Ehrenfeucht, HJHoogeboom, G.Rozenberg: ระบบคู่ที่มีการประสานงาน I: คำ Dyck และการปั๊มแบบดั้งเดิม RAIRO, Inf theor Appl 20, 405-424 (1986)

นามธรรม. แนวคิดของระบบคู่ที่มีการประสานงาน [... ] สอดคล้องกับอย่างใกล้ชิดกับ (เป็นอีกสูตรหนึ่ง) ความคิดของหุ่นยนต์แบบกดลง ในบทความนี้เรา [... ] ตรวจสอบความเป็นไปได้ของการได้รับคุณสมบัติการปั๊มของภาษาที่ไม่มีบริบทผ่านการวิเคราะห์การคำนวณในระบบ cp ในการทำเช่นนี้เราจะวิเคราะห์โครงสร้าง combinatorial ของคำ Dyck คุณสมบัติของคำ Dyck ที่เราตรวจสอบต้นกำเนิดจากการวิเคราะห์เชิง combinatorial ของการคำนวณในระบบ cp เราแสดงให้เห็นว่าการโต้ตอบนี้สามารถใช้ในการพิสูจน์บทแทรกซึมคลาสสิกได้อย่างไร

เมื่อพูดถึงปัญหานี้กับGéraudSénizerguesเขาชี้ให้ฉันเห็นบทความนี้โดย Sakarovitch ที่พิสูจน์ผลลัพธ์นี้แล้ว หลักฐานดูเหมือนจะย้อนกลับไปที่เอกสารนี้โดย Ogden

อ้างอิง:

• Sakarovitch, Jacques Sur une propriétéd'itération des langages algébriquesdéterministes (ภาษาฝรั่งเศส. สรุปภาษาอังกฤษ) คณิตศาสตร์. ทฤษฎีระบบ 14 (1981), ฉบับที่ 3, 247–288
• William F. Ogden 2512. ทฤษฎี Intercalation สำหรับภาษาสแต็ก ในการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีครั้งแรกในทฤษฎีการคำนวณ (STOC '69)