คุณลักษณะที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ของ P ก่อให้เกิดสิ่งกีดขวางในการตัดสินใจเลือก P กับ NP หรือไม่? (คำตอบ: อาจจะ)

เชื่อมโยงคำถามห้าข้อเข้าด้วยกันและหวังว่าจะได้คำตอบแบบรวมเดียว:

• คำถามที่ 1:มีภาษาที่ได้รับการยอมรับโดยเครื่องจักรทัวริงแต่เพียงผู้เดียวใน ซึ่งเลขยกกำลังแบบรันไทม์นั้นไม่สามารถอธิบายได้หรือไม่?$L$$P$
• Q2:สามารถสร้างตัวอย่างเครื่องจักรทัวริงเหล่านี้ได้อย่างละเอียดหรือไม่?
• Q3:เครื่องทัวริงเหล่านี้สามารถยกตัวอย่างเป็นรูปธรรมได้หรือไม่? ( เช่นโดย oracles ที่ "เดา" พวกเขาแทนที่จะสร้างพวกมันอย่างประณีต)
• Q4:คุณลักษณะอื่น ๆ ของP (นอกเหนือจาก exponents แบบรันไทม์) ในปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันว่าไม่สามารถตัดสินใจได้? สำหรับสิ่งที่แอตทริบิวต์ของเปิดคำถามนี้?$P$
• Q5:คุณลักษณะที่ไม่สามารถระบุได้ของก่อให้เกิดสิ่งกีดขวางต่อความสามารถในการตัดสินใจของหรือไม่?P ≠ N P$P$$P \ne NP$

สังเกตคำว่า "แต่เพียงผู้เดียว" อย่างระมัดระวังในQ1 (ซึ่งไม่รวมคำตอบที่แนะนำของ Lance Fortnow)

สรุปและการแปลงสู่ Wiki ชุมชน

• คำถามที่ถามว่า "คุณลักษณะที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ของ P ก่อให้เกิดอุปสรรคในการตัดสินใจเลือก P กับ NP หรือไม่" เป็นคำถามที่เปิดกว้างและเชื่อว่าเป็นเรื่องยากเช่นเดียวกับคำถามเฉพาะจำนวนมาก

• Juris Hartmanis '1978 เอกสารการคำนวณที่เป็นไปได้และคุณสมบัติความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ให้entréที่ดีในวรรณคดีและ (เห็นได้ชัด) มีการตรวจสอบที่ตีพิมพ์ตั้งแต่ Hartmanis'

• คำถามประเภทนี้ไม่ได้สำรวจอย่างพอเพียงว่าความท้าทายในการค้นหาหลักฐานอันเข้มงวดนั้นได้รับการยอมรับอย่างใกล้ชิดกับความท้าทายในการเลือกคำจำกัดความเริ่มต้นที่ดี

• ข้อสังเกตอย่างรอบคอบและภาพร่างหลักฐานเชิงลึกที่จัดทำโดย Travis Service และ Alex ten Brink ได้รับการยอมรับและชื่นชม

เนื่องจากคำถามเปิดอยู่และเนื่องจากกำลังมีการพูดคุยกันในหลายกระทู้ในบล็อกทางคณิตศาสตร์ ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) คำถามนี้จึงถูกตั้งค่าสถานะเพื่อการแปลงเป็น Community Wiki

อัปเดต II และสรุป

ฉันได้ตระหนักว่ากฎหมาย Harmanis' 1978 เอกสารเป็นไปได้คำนวณและพิสูจน์ได้คุณสมบัติซับซ้อนสามารถอ่านได้การตอบสนองในเชิงลึกเพื่อQ1-5 ยิ่งกว่านั้นภาพร่างหลักฐานไตรมาส 1และไตรมาส 4 ที่ยอดเยี่ยมแสดงโดยTravis ServiceและAlex ten Brinkให้การยืนยันที่ทันสมัยและการขยายข้อสรุปโดยรวมของ Hartmanis ที่:

ผลลัพธ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณเปลี่ยนไปค่อนข้างมากหากเราพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติของการคำนวณที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการ (เน้นโดย Hartmanis) ...

ดังนั้นเราควรคาดหวังว่าผลลัพธ์เกี่ยวกับการใช้ประโยชน์สูงสุดของโปรแกรมทั้งหมดที่ใช้งานฟังก์ชั่นเดียวกันกับโปรแกรมที่กำหนดจะแตกต่างจากผลลัพธ์ที่ได้จากการปรับให้เหมาะสมที่สุดสำหรับโปรแกรมทั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการเทียบเท่ากับโปรแกรมที่กำหนด ...

เรา [ควร] พิจารณาความเป็นไปได้ที่ปัญหาที่โด่งดังนี้ [ ] อาจไม่สามารถแก้ไขได้ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการเช่นทฤษฎีเซต$P\overset{?}{=}NP$

เห็นได้ชัดจากเอกสารของฮาร์ทแมนและจากคำตอบของเทรวิสและอเล็กซ์ว่าคำถามที่1-5นั้นดีกว่าทฤษฎีที่ซับซ้อนในปัจจุบัน นอกจากนี้คำถาม / คำตอบเหล่านี้เห็นได้ชัดว่ามีความละเอียดอ่อนพอที่จะต้องมีการปรับเปลี่ยนอย่างระมัดระวังและปรับการแสดงความยาวของเอกสารซึ่งฉันหวังว่าจะไม่กีดกันผู้คนจากการโพสต์คำตอบเพิ่มเติม :)

สำหรับการอภิปรายทางเทคนิคเพิ่มเติมให้ดูที่คำตอบของโจเอลเดวิดแฮมกินส์เกี่ยวกับMathOverflowสำหรับคำถามปัญหาสามารถเป็นเวลาพหุนามพร้อมกันและไม่สามารถตัดสินใจได้หรือไม่? (แนะนำโดย Alex ten Brink)

หากในเอกสารของ Hartmanis มีตัวเลือกหนึ่งสำหรับ“ การคำนวณฟังก์ชั่น” วลี“ การจำลองของการเปลี่ยนแปลง” ผลที่ได้สามารถอ่านได้ในรูปของบทความเกี่ยวกับข้อ จำกัด ทางทฤษฎีและความซับซ้อนของวิศวกรรมระบบ…นี่คือเหตุผลจริงที่วิศวกรของเราสนใจ ปัญหา

ความคิดเห็นที่ขัดแย้งกับ Hartmanis ถูกเปล่งออกมาเมื่อเร็ว ๆ นี้โดย Oded Goldreich ในจดหมายฉบับหนึ่งถึงบรรณาธิการ CACM ในหัวข้อ"On Computational Complexity" :

น่าเสียดายที่เราไม่มีคำตอบเชิงทฤษฎีที่ดีสำหรับคำถามที่เป็นธรรมชาติที่สุดเกี่ยวกับการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ นี่ไม่ใช่กรณีที่เราถามคำถามผิด แต่เพราะคำถามเหล่านี้ยากมาก

(แน่นอน) เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบที่ความคิดเห็นของ Hartmanis และ Goldreich จะพิสูจน์ว่าถูกต้องตัวอย่างเช่นการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของความไม่สามารถแยกได้ของ PvsNP อาจถือได้ว่าเป็นการตรวจสอบทั้งสองมุมมอง

อัปเดตฉัน

ความคิดเห็นที่รอบคอบ (ด้านล่าง) โดย Travis Service และ Alex สิบ Brink แนะนำ (ในผล) ว่าในไตรมาสที่ 1วลี "undecidable" ไม่ตรงกันกับ "ไม่ใช่ decidable verifiably" และคำตอบของ Q2–5อาจขึ้นอยู่กับความแตกต่างนี้ มันไม่ชัดเจนเลย (สำหรับฉัน) ว่าการเลือกแบบกำหนดเงื่อนไขจะนำไปสู่ทฤษฎีบทที่แข็งแกร่งที่สุดและรวมถึงการใช้สัญชาตญาณของคลาส P. Answers และความคิดเห็นที่ดีที่สุดที่จะตอบคำถามนี้

คำพูดของเฟลิกซ์ไคลน์ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นของเขาจากมุมมองขั้นสูง: เรขาคณิต (1939) อยู่ในใจ:

ตัวอย่างของแนวคิดที่เกิดขึ้นมีความแม่นยำมากขึ้นหรือน้อยลงในการรับรู้ที่ไร้เดียงสาของพื้นที่ซึ่งเราจะต้องเพิ่มเป็นอาหารเสริมเพื่อระบบการทำงานของรูปทรงเรขาคณิตของเราก็เป็นความคิดของ (พล) เส้นโค้ง ทุกคนเชื่อว่าเขารู้ว่าเส้นโค้งคืออะไรจนกว่าเขาจะได้เรียนรู้คณิตศาสตร์มากมายจนความผิดปกติที่อาจเกิดขึ้นนับไม่ถ้วนทำให้พวกเขาสับสน

เช่นเดียวกับส่วนโค้งดังนั้นภาษาที่ยอมรับเครื่องใน  ... สิ่งที่ครั้งหนึ่งดูเหมือน (กับฉัน) ที่ง่ายและเป็นธรรมชาติที่สุดของคลาสความซับซ้อนทั้งหมดตอนนี้ทำให้ฉันสับสนโดย (นับไม่ถ้วน?) ที่พิสูจน์ไม่ได้และ / หรือคุณลักษณะที่ไม่สามารถคาดเดาได้ . แรงจูงใจในวงกว้างในการถามQ1–5คือการหาเส้นทางผ่านพุ่มไม้ที่สับสนนี้ แต่คำตอบที่ให้มา (โดย Travis Service และ Alex ten Brink) ทำให้เกิดความสับสนมากขึ้น!$P$

นักคณิตศาสตร์รุ่นของไคลน์ทำงานหนักเพื่อค้นหาคำจำกัดความที่ดีสำหรับเส้นโค้งและองค์ประกอบพื้นฐานอื่น ๆ ของทฤษฎีเซตเรขาคณิตและการวิเคราะห์ ภาพรวมระดับประถมศึกษาสามารถพบได้ในการอภิปราย Wikipedia ของAlexander Horned Sphere

      
      การฝังของทรงกลมใน R3

ในช่วงศตวรรษที่ 20 การวิเคราะห์ "ป่าแมนิโฟลด์" เหมือนกับอเล็กซานเดอร์ทรงกลมช่วยอธิบายความแตกต่างระหว่างโทโพโลยีแมนิโฟลด์, แมนิโฟลด์ต่อเนื่องทีละชิ้น ในทำนองเดียวกันในศตวรรษที่ 21 การปรับแต่งคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับอาจช่วยให้ภาษาป่าและเครื่องทัวริงของเชื่องได้ง่ายขึ้นแม้ว่าการระบุการปรับแต่งที่เหมาะสมจะไม่ใช่เรื่องง่าย$P$$P$

พื้นหลัง

คำถามที่เชื่อมโยงเหล่านี้เกิดขึ้นจากคำถาม wiki ของชุมชนMathOverflow " อะไรคือปัญหาทัวริสที่น่าสนใจที่สุดในคณิตศาสตร์? " และ " มีการใช้ความคิดอะไร แต่ไม่ชัดเจนในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ " โดยเฉพาะColin Tan ขอให้คำถามข้างต้น โพสต์เป็นคำถามแยกต่างหาก

สำหรับพื้นหลังด้านเทคนิคให้ดูที่คำถามTCS StackExchange " ขอบเขตรันไทม์ใน P สามารถเปลี่ยนได้หรือไม่ " โดยเฉพาะอย่างยิ่งEmanuele Viola บทพิสูจน์ที่กระชับว่าคำตอบคือ "ไม่" โปรดทราบว่า Juris Hartmanis ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันได้รับการพิสูจน์ในการคำนวณเอกสารที่เป็นไปได้และคุณสมบัติความซับซ้อนที่พิสูจน์ได้ (1978)

สัปดาห์นี้ Lance Fortnow / Bill GASARCH weblog การคำนวณมีความซับซ้อนเป็นเจ้าภาพการสำรวจความคิดเห็นของพวกเขา" ไม่หรือไม่?$P=NP$ " - คำถามที่ห้าและสุดท้ายถามถามความเห็นเกี่ยวกับ Fortnow / GASARCH คำถาม

สำหรับคำถามที่ 1 คำตอบคือไม่ Let ภาษาในPและปล่อยให้เอ็มเป็นเวลาพหุนามใด ๆ ทัวริงเครื่องตระหนักถึงL (ซึ่งรันไทม์จะถือว่าเป็น undecidable) สำหรับแต่ละk ∈ Nให้M kเป็นเครื่องทัวริงที่อินพุตxของความยาวnลูปแรกสำหรับn kก้าวจากนั้นรันMบนxสำหรับn k + kขั้นตอนและยอมรับถ้าMยอมรับx (ภายในn k + kเหล่านั้น$L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$ขั้นตอน) และปฏิเสธเป็นอย่างอื่น รันไทม์ของเป็นΘ ( n k )สำหรับแต่ละk$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

ตั้งแต่วิ่งในพหุนามมีk ′ ∈ Nบางตัวที่Mวิ่งในO ( n k ′ ) (แม้ว่าเราไม่รู้ว่าk ′คืออะไร) และด้วยเหตุนี้สำหรับk ที่มีขนาดใหญ่พอm kรับรู้Lและมี รันไทม์ที่ตัดสินใจได้$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

แก้ไข

ฉันคิดว่าคำตอบต่อไปนี้เป็นจิตวิญญาณของสิ่งที่โปสเตอร์ดั้งเดิมตั้งใจไว้กับคำถามที่ 1

$L \in P$$N$$L$

$N$$L$

$N$$f(n)$$f(n)$

$M$$M$$M$

$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

$M$$L$$M$

$N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

หลังจากที่คิดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ผมคิดว่าผมพบว่า (เป็นไปได้) คำตอบของคุณQ4

• Q4:คุณลักษณะอื่น ๆ ของP (นอกเหนือจาก exponents แบบรันไทม์) ในปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันว่าไม่สามารถตัดสินใจได้? สำหรับสิ่งที่แอตทริบิวต์ของ$P$$P$

ฉันพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงในทฤษฎีบทของไรซ์ที่ตอบคำถามของคุณสำหรับคุณสมบัติส่วนใหญ่ ฉันจะพยายามอธิบายตัวเองให้ชัดเจนขึ้นในครั้งนี้ (คำตอบของเทรวิสเซอร์วิสนั้นชัดเจนและทั่วไปกว่าคำตอบก่อนหน้านี้)

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

ฉันสามารถตอบQ1ของคุณในแง่ลบได้ดังนั้นจึงตอบคำถามQ2และQ3ในแง่ลบด้วย ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับQ4หรือQ5แต่

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

ความคิดเกี่ยวกับความไม่แน่นอนนี้เป็นเรื่องธรรมดาที่เห็นได้ชัดฉันจำได้ว่า (บล็อก?) โพสต์เกี่ยวกับปัญหาที่คล้ายกันมาก: คำถามคือ "มันเป็นเรื่องที่ตัดสินได้หรือไม่ว่า Pi มี 'ศูนย์สุดท้าย'" หรือไม่ การแทนค่าทศนิยมถ้าคุณลงไปมากพอที่จะเป็นตัวแทน ขณะนี้เราไม่ทราบว่าเป็นกรณีนี้หรือไม่ เราอาจไม่สามารถพิสูจน์ได้หรืออาจเป็นอิสระจากระบบสัจพจน์ของเรา (และไม่สามารถพิสูจน์ได้) แต่เนื่องจากคำตอบเป็นจริงหรือเท็จ TM ส่งคืนจริงและ TM คืนเท็จตัดสินปัญหาทั้งสองกรณีดังนั้นปัญหาจึงสามารถตัดสินใจได้

ฉันจะดูว่าฉันสามารถค้นหาโพสต์บนอินเทอร์เน็ตที่ใดที่หนึ่ง

แก้ไข:

ผมพบว่ามันเกี่ยวกับMathoverflow