ทำไมคอมพิวเตอร์จึงพิสูจน์ได้ยาก

นี่อาจเป็นคำถามที่โง่ ฉันไม่ใช่วิชาเอกวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (และฉันก็ไม่ใช่วิชาเอกคณิตศาสตร์ด้วย) ดังนั้นโปรดขอโทษด้วยถ้าคุณคิดว่าคำถามต่อไปนี้แสดงข้อสันนิษฐานที่ผิดพลาดบางประการ

ในขณะที่มีแผนการที่จะทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นทางการ (ดูการนำเสนอนี้) ฉันไม่เคยอ่านหรือได้ยินมาว่าคอมพิวเตอร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าแม้แต่ทฤษฎีง่าย ๆ อย่างพีธากอรัส

ทำไมจะไม่ล่ะ? อะไรคือ (/ คือ) ปัญหาหลัก (/ IES) ที่อยู่เบื้องหลังการสร้างการพิสูจน์แบบอิสระด้วยคอมพิวเตอร์โดยได้รับความช่วยเหลือจาก "สัจพจน์ในตัว" บางตัวเท่านั้น

คำถามที่สองที่ฉันอยากจะถามมีดังนี้: ทำไมเราถึงสามารถทำข้อพิสูจน์หลาย ๆ แบบได้ในขณะที่คอมพิวเตอร์ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยตนเองได้ในขณะนี้ ทำไม "ยากขึ้น"

automated-theorem-proving

— Max Muller
แหล่งที่มา

ปัญหาหลักสองประการ ความไม่สมบูรณ์ (ดูทฤษฎีของGödel) และขนาดที่กว้างใหญ่ของพื้นที่การค้นหา (มีทฤษฎีที่ไม่น่าสนใจยิ่งกว่าสิ่งที่น่าสนใจ) มีความคืบหน้าอย่างมากโดยใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ (Coq, Isabelle, Agda, ฯลฯ ) นักคณิตศาสตร์เหล่านี้เขียนทฤษฎีบทและบทแทรกและผู้ช่วยพิสูจน์จะช่วยค้นหาหลักฐานและทำให้แน่ใจว่าหลักฐานนั้นถูกต้องตามหลักเหตุผล

— Dave Clarke

@Dave Clarke: ตกลงจริง ๆ แล้วคุณบอกว่าคอมพิวเตอร์มีความสามารถในการพิสูจน์ทฤษฎีบท (ใหม่) แต่การค้นหาที่เป็นไปได้จำนวนมากทำให้เขา / เธอ / มันยากที่จะเขียนทฤษฎีที่มีคุณค่าหรือน่าสนใจ ฉันถูกไหม? คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมทฤษฎีบทของGödelและ "ความไม่สมบูรณ์" มีความเกี่ยวข้องที่นี่ นอกจากนี้คุณมีการอ้างอิงบทความวิจัยหรือบทความสำรวจที่แสดงให้เห็นว่าคอมพิวเตอร์พิสูจน์ทฤษฎีบทได้จริงหรือไม่? ท้ายสุดมีงานวิจัยมากมายที่พยายามทำให้คอมพิวเตอร์พิสูจน์ทฤษฎีบทหรือไม่? พื้นที่การวิจัยนี้เรียกว่าอะไร (ต่อ ... )

— Max Muller

และคุณรู้วัสดุเบื้องต้นที่ดีอยู่หรือไม่? สิ่งที่จำเป็นต้องมีในคณิตศาสตร์ทั้งสอง แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิทยาการคอมพิวเตอร์สำหรับการเข้าใจเนื้อหานี้จริง ๆ คืออะไร?

— Max Muller

คุณอาจสนใจงานของ Dorian Zeilberger เช่น "การสอนคอมพิวเตอร์ถึงวิธีการค้นพบ (!) และจากนั้นพิสูจน์ (!!) (ด้วยตัวเอง (!!!)) สัญญาณอะนาล็อกของการคาดคะเน 3 + 1 ของ Collatz " math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/collatz.html ) Shalosh B. Ekhad ผู้เขียนเรื่องร่วมประจำของ Zeilberger เป็นคอมพิวเตอร์

— Rob Simmons

คำถามต่อไปนี้ยังให้ตัวอย่างที่ดีหลายอย่างของคอมพิวเตอร์ช่วยในการพิสูจน์ทฤษฎีบท: cstheory.stackexchange.com/questions/82/…

— Mugizi Rwebangira

คำตอบ:

ในขณะที่มีแผนการที่จะทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นทางการ (ดูการนำเสนอนี้) ฉันไม่เคยอ่านหรือได้ยินมาว่าคอมพิวเตอร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าแม้แต่ทฤษฎีง่าย ๆ อย่างพีธากอรัส

ในปี 1949 Tarski พิสูจน์ว่าเกือบทุกอย่างในThe Elements นั้นอยู่ในส่วนที่ไม่สามารถแยกออกได้ของตรรกะเมื่อเขาแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการตัดสินใจของทฤษฎีอันดับหนึ่งของสนามปิดจริง ดังนั้นทฤษฎีบทของพีทาโกรัสจึงไม่ได้พูดถึงมากนักเพราะมันไม่ยากนัก

$A$ $A$

$A$ $B$ $A$

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ปัญหาหลักสองประการ ความไม่สมบูรณ์ (ดูทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödel) และขนาดที่กว้างใหญ่ของพื้นที่การค้นหา (มีทฤษฎีที่ไม่น่าสนใจยิ่งกว่าสิ่งที่น่าสนใจ) มีความคืบหน้าอย่างมากโดยใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ ( Coq , Isabelle, Agda, ฯลฯ ) นักคณิตศาสตร์เหล่านี้เขียนทฤษฎีบทและบทแทรกและผู้ช่วยพิสูจน์จะช่วยค้นหาหลักฐานและทำให้แน่ใจว่าหลักฐานนั้นถูกต้องตามหลักเหตุผล

$P$ $Q$ $P\wedge Q$

บทความนี้อธิบายวิธีการใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ Coq เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทสี่สี คณิตศาสตร์เชิงกล ( ภาพรวม ) เป็นหนึ่งในพื้นที่ของ TCS ที่อุทิศให้กับ (กึ่ง) โดยอัตโนมัติพิสูจน์ทฤษฎีบท (และโดยทั่วไปใช้คอมพิวเตอร์เพื่อช่วยนักคณิตศาสตร์)

พื้นที่หนึ่งที่การพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ (แปลก ๆ ) กำลังสร้างผลกระทบในการตรวจสอบแบบจำลองและการค้นหาแบบจำลอง การตรวจสอบโมเดลเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าระบบที่กำหนดตอบสนองคุณสมบัติที่กำหนดหรือไม่ในขณะที่การค้นหาโมเดลพบว่าระบบจะตอบสนองคอลเลกชันของคุณสมบัติที่กำหนด เครื่องมืออัลลอยใช้การตรวจสอบแบบจำลองและการหาแบบจำลองเพื่อให้ได้ผลดีและใช้งานได้ค่อนข้างดี

— Dave Clarke
แหล่งที่มา

ฉันไม่สามารถเลือกได้ระหว่างคำตอบสองข้อนี้เพราะมันยอดเยี่ยมมาก ฉันโยนเหรียญเพื่อตัดสินใจว่าจะเลือกอันไหน ฉันขอโทษที่ฉันไม่ได้เลือกคุณ! ขอบคุณมากอยู่ดี

— Max Muller

คุณชนะบางอย่างคุณสูญเสียบางอย่าง

— Dave Clarke

เทคนิคน้อยบัญชีทางคณิตศาสตร์มากขึ้นของหลักฐานสี่สีและความสำคัญของถูกตีพิมพ์ในประเด็นประกาศ AMS ล่าสุด (ปัญหาทั้งอาจจะมีการอ่านขอแนะนำสำหรับผู้ที่สนใจในคำถามของ OP)

— Francois G