อ้างอิงถึงความไม่แน่นอนของโมดูลัสของความต่อเนื่องของฟังก์ชันใน PCF

ใครสามารถชี้ให้ฉันดูการอ้างอิงสำหรับความไม่แน่นอนของโมดูลัสการทำงานต่อเนื่องใน PCF $\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bool}{\mathsf{bool}}$

Andrej Bauer ได้เขียนโพสต์บล็อกที่ดีมากในการสำรวจปัญหาบางอย่างในรายละเอียดเพิ่มเติม แต่ฉันจะสรุปเพียงเล็กน้อยของโพสต์ของเขาเพื่อให้ความรู้เกี่ยวกับคำถามนี้ Baire พื้นที่$B$เป็นชุดของลำดับจำนวนธรรมชาติหรือเท่าชุดของฟังก์ชั่นจากธรรมชาติเพื่อธรรมชาติ$\N \to \N$ n สำหรับคำถามนี้เราจะ จำกัด ความสนใจของเราเฉพาะสตรีมที่คำนวณได้เท่านั้น

ตอนนี้ฟังก์ชั่น$f : B \to \bool$นั้นต่อเนื่องหากทุก ๆ$xs \in B$ค่าของ$f(xs)$ขึ้นอยู่กับจำนวนที่แน่นอนขององค์ประกอบของ$xs$และมันต่อเนื่องได้ถ้าเราสามารถคำนวณบน จำกัด จำนวนองค์ประกอบของ$xs$ที่ต้องการ ในการคำนวณบางรุ่นมันเป็นไปได้ที่จะเขียนโปรแกรม $\mathsf{modulus} : (B \to \bool) \to B \to \N$ซึ่งรับฟังก์ชั่นคำนวณบนพื้นที่ Baire และองค์ประกอบของพื้นที่ Baire และคืนขอบเขตบนจำนวนองค์ประกอบของสตรีม

เคล็ดลับหนึ่งสำหรับการนำสิ่งนี้ไปใช้คือการใช้ที่จัดเก็บในตัวเครื่องเพื่อบันทึกดัชนีสูงสุดลงในสตรีมที่เห็น:

let modulus f xs =
  let r = ref 0 in
  let ys = fun i -> (r := max i !r; xs i) in 
    f ys;
    !r

แน่นอนว่าysข้อโต้แย้งไม่ใช่โปรแกรมที่ใช้งานได้หมดจดอีกต่อไป ความสนใจของผมในโปรแกรมนี้มาจากความจริงที่ว่ามันมี แต่จะทำให้การใช้งานของร้านค้าในพื้นที่และดังนั้นจึงเป็นextensionallyบริสุทธิ์ ฉันทำงานกับการเขียนโปรแกรมที่มีคำสั่งที่สูงกว่า (และสิ่งอื่น ๆ ) และกำลังออกแบบทฤษฎีประเภทที่สามารถจำแนกสิ่งนี้เป็นฟังก์ชั่นที่บริสุทธิ์

มีตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงเช่นกันซึ่งเกี่ยวข้องกับสิ่งต่าง ๆ เช่นการบันทึกและการรวมการเชื่อมต่อ แต่ฉันพบว่านี่เป็นตัวอย่างที่สวยงามเป็นพิเศษ

หลักฐานถูกซ่อนอยู่ที่ไหนสักแห่งใน Troelstra และ van Dalen, Constructivism ในวิชาคณิตศาสตร์เล่ม 2 ฉันคิดว่า มีโอกาสมากขึ้นที่จะพบได้ในการสืบสวนของ Troelstraหากคุณสามารถวางมือลงบนมัน

มันเป็นเช่นนี้ สมมติว่าเราสามารถกำหนดโมดูลัสความต่อเนื่องในการพิมพ์ -calculus กับตัวดำเนินการ fixpoint จากนั้นเราก็สามารถตีความได้ในแบบจำลอง realizaiblity โดเมน - ทฤษฎีเช่นในโดยที่เป็นโมเดลกราฟของ Scott ในโมเดลนี้หลักการตัวเลือกนั้นถูกต้อง แต่เป็นที่ทราบกันดีว่าพร้อมกับการขยายฟังก์ชั่น (ซึ่งมีอยู่ในทุกโมเดล realizability) เข้ากันไม่ได้กับการดำรงอยู่ของโมดูลัสความต่อเนื่อง ถ้าฉันได้รับสักครู่ฉันจะกรอกรายละเอียดในภายหลัง$\lambda$$\mathsf{PER}(\mathcal{P}\omega)$$\mathcal{P}\omega$$AC_{2,0}$$AC_{2,0}$

ดูเพิ่มเติมเมตร Escardo ต Streicher: ในโดเมนเข้าใจได้ไม่ functionals ทั้งหมดที่มีอย่างต่อเนื่องตีพิมพ์ในคณิตศาสตร์ Logic ไตรมาสปริมาณ 48 ฉบับผนวก 1, หน้า 41-44 2002