มี DFA กี่ตัวที่ยอมรับสตริงที่กำหนดสองชุด

แก้ไขจำนวนเต็ม$n$และตัวอักษร$\Sigma=\{0,1\}$ } กำหนด$DFA(n)$ให้เป็นคอลเลกชันของออโตมาตา จำกัด ทั้งหมดใน$n$รัฐด้วยสถานะเริ่มต้น 1 เรากำลังพิจารณาDFAs ทั้งหมด (ไม่ใช่แค่การเชื่อมต่อที่น้อยที่สุด จึง$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$ n

ตอนนี้พิจารณาสองสตริงx , y ที่∈ Σ *และกำหนดK ( x , Y )ให้เป็นจำนวนขององค์ประกอบของD F ( n )ที่ยอมรับทั้งxและy ที่$x,y\in\Sigma^*$$K(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

คำถาม: ความซับซ้อนของการคำนวณK ( x , y )คืออะไร?$K(x,y)$

คำถามนี้มีผลกระทบต่อการเรียนรู้เครื่อง

แก้ไข: ตอนนี้มีคำถามมากมายเกี่ยวกับคำถามนี้ฉันคิดว่ามีความแม่นยำมากขึ้นในการกำหนดสูตร สำหรับn ≥ 1ให้D F A ( n )เป็นชุดของn 2 n 2 nออโตมาตะตามที่กำหนดไว้ข้างต้น สำหรับx , y ∈ { 0 , 1 } ∗ , ให้นิยามK n ( x , y )ให้เป็นจำนวนออโตมาตาในD F A ( n )ที่ยอมรับทั้งคู่$n\ge1$$DFA(n)$$n^{2n}2^n$$x,y\in\{0,1\}^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ xและy ที่ คำถาม: สามารถคำนวณ K n ( x , y )ได้ในเวลา p o l y ( n , | x | , | y | )หรือไม่$x$$y$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

ดังนั้นคำถามสั้น ๆ แต่น่าสนใจมาก ฉันคิดว่าอินพุตเป็นnในเอกภาพและxและy เป็นเลขฐานสอง (หรือเรามีปัญหาตามที่ระบุโดยคำตอบของไค)$n$$x$$y$

First of all, if you are interested in knowing $K(x,y)$ approximately, then you can just generate a few random DFA's and this will give you (whp) a good approximation. (I wonder if this complexity class has a name.)

จากนั้นการรู้ว่าK ( x , y )ดูเหมือนว่าจะเป็นปัญหาที่ยากลำบาก ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นโดย a3_nm และ Kaveh คำถามนั้นเทียบเท่ากับการกำหนดจำนวนออโตมาตะที่$K(x,y)$$x$ and $y$ go to the same state. I will denote the probability that they go to the same state by $p$.

Update: Some of the things I wrote here were not true, now I fixed them.

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพี≥ 1 / n เรามีความเสมอภาคถ้าxคือ 0 ทั้งหมดและyเป็นศูนย์ทั้งหมดยกเว้นบิตสุดท้ายซึ่งคือ 1 มีกรณีอื่นอีกไหม? ฉันไม่รู้ ถ้าเช่นxคือสตริงว่างและy = 00ดังนั้นp = n + $p \ge 1/n$$x$$y$$x$$y=00$( n - 1 ) n$p= \frac{n+1}{(n-1)n}$

To simplify the problem, I even started to think about what happens if $x$ and $y$ are unary. If both are at least $n$ and their difference is divisible by $n!$, then $p=1$. Is there a simple formula for the unary version?

I may very well be missing the point but you stated that $n$ is fixed, so all DFAs of that size could be considered precomputed and stored in an easily simulatable format. Compute $K$ as follows:

On input $x$, $y$ where $x,y\in\Sigma^*$

1. store $x$ and $y$
2. initialize counter $c$ to $0$
3. for each of your $n^{2n} 2^n$ DFAs

4. a. simulate it on both words (this step is $\mathcal{O}(|xy|)$)

   b. increment $c$ if both simulation runs are accepting

5. output $c$

Altogether, the computation has linear complexity. The answer is quite different for $K(n,x,y)$.