การบิดอย่างรวดเร็วเหนือทุ่ง จำกัด ขนาดเล็ก

อะไรคือวิธีที่รู้จักกันเป็นอย่างดีสำหรับการวนรอบความยาวเหนือสนามขนาดเล็กเช่นเมื่อ ? ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาคงที่ขนาดหรือแม้กระทั่ง\ คำแถลงและการอ้างอิงเชิงเส้นกำกับเชิงประสิทธิภาพได้รับความนิยมอย่างมาก $n$ $|\mathbb{F}| \ll n$ $\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

พื้นหลัง: Letเป็นข้อมูลและ0 เราคิดว่าของเวกเตอร์ว่ามีการจัดทำดัชนีโดยพิกัด\ $\mathbb{F}$ $n > 0$ $u \in \mathbb{F}^n$ $\mathbb{Z}_n$

(วงกลม) บิดของความยาวมากกว่ามีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดและ outputtingกำหนดโดย ที่มีค่าดัชนีเลขคณิตมากกว่า\ $n$ $\mathbb{F}$ $u, v \in \mathbb{F}^n$ $u * v \in \mathbb{F}^n$

(u * v)_{i} := \sum_{j \in Z_{n}} v_{j} u_{i - j},

$(u * v)_i := \sum_{j \in \mathbb{Z}_n} v_j u_{i - j},$

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$

ในการทำการวนแบบวนรอบฟิลด์ขนาดใหญ่วิธีการที่ได้รับความนิยมคือการใช้ทฤษฎีบทการสนทนาเพื่อลดปัญหาของเราในการดำเนินการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) และใช้อัลกอริธึม FFT

สำหรับฟิลด์ จำกัด ขนาดเล็กผิวเผินจะไม่ได้กำหนดเพราะไม่มีดั้งเดิมราก -th ของความสามัคคี เราสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ด้วยการฝังปัญหาในเขตข้อมูลขนาดใหญ่ แต่ก็ไม่ชัดเจนว่านี่เป็นวิธีที่ดีที่สุดในการดำเนินการต่อ แม้ว่าเราจะใช้เส้นทางนี้มันก็เป็นการดีที่จะรู้ว่ามีใครบางคนทำรายละเอียดเรียบร้อยแล้ว (ตัวอย่างเช่นการเลือกฟิลด์ที่ใหญ่กว่าที่จะใช้และอัลกอริทึม FFT ที่จะใช้) $n$ $^*$

ที่เพิ่ม:

$^*$ โดย 'ฝัง' การโน้มน้าวใจของเราฉันหมายถึงหนึ่งในสองสิ่งนี้ ตัวเลือกแรก: เราสามารถส่งผ่านไปยังเขตข้อมูลส่วนขยายที่ติดกับรากดั้งเดิมของความสามัคคีและทำการแปลงที่นั่น

ตัวเลือกที่สอง: ถ้าเขตข้อมูลเริ่มต้นของเราเป็นวัฏจักรคนหนึ่งสามารถผ่านไปที่สนามวัฏจักรของลักษณะที่ใหญ่กว่า - ใหญ่พอที่ถ้าเราพิจารณาเวกเตอร์ของเราว่าอยู่ในไม่มีการเกิด "wraparound" (ฉันไม่เป็นทางการ แต่ลองคิดดูว่าจะคำนวณการโน้มน้าวใจอย่างไรเราสามารถเห็นได้ชัดว่าทำแบบเดียวกันกับจากนั้นจึงใช้คำตอบ mod 2) $\mathbb{F}_{p'}$ $\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$ $\mathbb{Z}$

เพิ่มด้วย:

อัลกอริทึมจำนวนมากสำหรับ FFT และปัญหาที่เกี่ยวข้องทำงานได้ดีเป็นพิเศษสำหรับค่า 'ดี' ของ (และฉันต้องการที่จะเข้าใจสถานการณ์นี้ดีขึ้น) $n$

แต่ถ้าไม่มีความพยายามที่จะใช้ประโยชน์จากค่าพิเศษของปัญหาการบิดแบบวนรอบนั้นจะเทียบเท่ากัน (โดยการลดการระเบิดเชิงเส้นอย่างง่ายใน ) เป็นการบิดธรรมดา ในทางกลับกันจะเทียบเท่ากับการคูณของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์กว่าพี $n$ $n$ $\mathbb{F}_p$

โดยเท่าเทียมกันนี้หนึ่งสามารถใช้ผลในการเช่นบทความนี้ของฟอนซูร์ Gathen และแกร์ฮาร์ด (อาคารการทำงานของแคนเทอร์) ที่ใช้วิธีการขยายสนามที่จะได้รับความซับซ้อนของวงจรผูกพันของ )พวกเขาไม่ได้ระบุขอบเขตของพวกเขาในทางที่ชัดเจนโดยเฉพาะ IMO แต่ถูกผูกไว้จะเลวร้ายยิ่งกว่าแม้สำหรับ 2สามารถทำได้ดีกว่า $\tilde{O}_p(n)$ $n \cdot \log^2 n$ $\mathbb{F}_2$

ds.algorithms reference-request

— Andy Drucker
แหล่งที่มา

บางทีคุณอาจจะพบสิ่งที่มีประโยชน์ในวิทยานิพนธ์ของทอดด์ Mateer

— jp

ฉันถามคำถามที่คล้ายกันมากใน MathOverflow สำหรับการคำนวณ DFT บนฟิลด์ จำกัด ที่กำหนดเอง คุณอาจพบคำตอบที่เกี่ยวข้อง

— Bill Bradley

บทความล่าสุดโดย Alexey Pospelov ดูเหมือนจะให้สถานะของศิลปะ (ไม่ใช่คนแรกที่บรรลุขอบเขตที่ฉันจะพูดถึง แต่มันทำให้พวกเขาประสบความสำเร็จในลักษณะที่เป็นอันหนึ่งอันเดียวกันสำหรับเขตข้อมูลที่กำหนดเองและที่สำคัญเท่าเทียมกันคือระบุขอบเขตอย่างชัดเจนดูหน้า 3)

เราสามารถคูณสองคุณวุฒิปริญญา polynomials เหนือฟิลด์พลใช้คูณในและเพิ่มเติมในFนี่คือต้นเนื่องจาก Schonhage-Strassen (สำหรับถ่าน ) และ Schonhage สำหรับถ่าน 2. ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วสิ่งนี้แสดงถึงขอบเขตที่เหมือนกันสำหรับการชักชวนแบบวน Pospelov ยังกล่าวอีกว่า "ขณะนี้เราไม่ได้ตระหนักถึงอัลกอริธึมใด ๆ ที่มีขอบเขตสูงสุดของ [ด้านบน] ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแอพพลิเคชั่น DFT ต่อเนื่อง ... " $\bullet$ $n$ $\mathbb{F}$ $O(n \log n)$ $\mathbb{F}$ $O(n \log n \log \log n)$ $\mathbb{F}$ $\neq 2$

Cantor และ Kaltofen วางแนวผลลัพธ์เหล่านี้โดยทั่วไปแสดงขอบเขตที่เก็บไว้สำหรับ algebras ตามอำเภอใจ (ไม่ใช่เฉพาะฟิลด์) $\bullet$

ถ้าสนับสนุนการแยกแปลงฟูเรียของการสั่งซื้อที่เหมาะสมนั่นคือถ้ามีดั้งเดิมราก -th ของความสามัคคีที่ก็พอขนาดใหญ่ (ผมเชื่อว่าพอเพียง) และเป็นอำนาจของ 2 หรือ 3 แล้วเราสามารถทำคูณพหุนามกับคูณและเพิ่มเติม การปรับปรุงอื่น ๆ ที่เป็นไปได้สำหรับเขตข้อมูลที่มีคุณสมบัติพิเศษอื่น ๆ $\bullet$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $N$ $N$ $N = O(n)$ $N$ $O(n)$ $O(n \log n)$

มันน่าจะเป็นไปได้ แต่ไม่ทราบว่าที่ผ่านมา Furer ของการปรับปรุงในการคูณจำนวนเต็ม (ตำหนิในวิธีที่แตกต่างกันโดย De et al.) จะช่วยนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการคูณพหุนามได้เร็วขึ้นกว่าฟิลด์ จำกัด กล่าวว่า ทุกคนสามารถแสดงความคิดเห็นได้หรือไม่ $\bullet$

วิทยานิพนธ์ของ Todd Mateer ดูเหมือนว่าเป็นแหล่งข้อมูลที่ยอดเยี่ยมในการเข้าใจวรรณกรรม FFT และการประยุกต์ใช้ในการคูณพหุนาม (ขอบคุณ Jug!) แต่คุณต้องขุดให้มากขึ้นเพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ

— Andy Drucker
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณพูดถูก Furer และ De De ไม่ได้ใช้เวอร์ชันที่ซับซ้อนของ FFT และดูเหมือนว่าจะง่ายขึ้นในทางเทคนิคแม้ว่าอัลกอริทึมทั้งสองจะคล้ายกันกับแนวคิด

— vs

หากคุณกังวลเกี่ยวกับปัจจัยบันทึกคุณจะต้องระมัดระวังเกี่ยวกับรุ่นเครื่อง การปรับปรุงล่าสุดของ Furer's เหมาะสำหรับเครื่องจักรทัวริง สำหรับรูปแบบ RAM ราคาต่อหน่วย (แม้ไม่มีการคูณ แต่ด้วยการค้นหาเวลาคงที่) คุณจะได้เวลา O (n) สำหรับการคูณตัวเลขสองบิตและลดความซับซ้อนของเวลาที่สอดคล้องกันสำหรับการคูณผ่าน F_2 เป็นต้นโดยใช้การบรรจุบิตและเทคนิคแบบดั้งเดิม

— กราฟิลส์