การค้นหาการจับคู่ที่มีการหดตัวลดจำนวนส่วนโค้งในกราฟ

รับกราฟผสม$G=(V,E,A)$มีขอบ$E$และส่วนโค้ง$A$ , หาการจับคู่ใน$E$ที่ลดจำนวนของส่วนโค้งใน$G/M$ , โดยที่$G/M$ได้มาจาก$G$โดยการหดตัวจุดยอดที่จับคู่ เส้นโค้งแบบขนาน

(เวอร์ชันการตัดสินใจ) ปัญหานี้เป็นปัญหาสมบูรณ์หรือไม่ มีการศึกษาในวรรณคดีหรือไม่?

ฉันไม่ทราบว่าเจตนาของคุณคืออนุญาตให้ขอบที่ไม่ได้บอกทิศทางในEและส่วนโค้งในAเป็นแบบขนานหรือไม่ แต่มันไม่สำคัญในท้ายที่สุด ในคำตอบนี้เราคิดว่าคุณไม่อนุญาตให้ขอบและส่วนโค้งขนานกัน

พิจารณาเป็นกรณีพิเศษที่แต่ละโค้งใน, นอกจากนี้ยังมีส่วนโค้งในทิศทางตรงข้าม ในกรณีนี้เราสามารถละเว้นการวางแนวของส่วนโค้งและคิดว่ามันเป็นแบบไม่ได้บอกทิศทาง ที่เราเรียกว่าขอบในE ขอบดำและขอบในสีแดงขอบ

แม้ภายใต้ข้อ จำกัด สองข้อนี้ปัญหาคือปัญหา NP-complete โดยการลดจาก Max-2SAT ให้φเป็นสูตร 2CNF ในnตัวแปรกับมข้อ สร้างกราฟGมี 3 nจุดv 1 , ... , V n , x 1 , ... , x n , ˉ x 1 , ... , ˉ x nดังต่อไปนี้ Gมี 2$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$nขอบดำ: และ( วีฉัน , ˉ xผม )สำหรับฉัน = 1, ... , n Gมีขอบสีแดง ก่อนอื่นให้เชื่อมต่อและสำหรับi ≠ jโดยใช้ขอบสีแดง ถัดไปสำหรับทุกตัวแปรที่แตกต่างและให้พิจารณาสี่ตัวอักษร_j) เชื่อมต่อตัวอักษร$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$vivjxixj(l,l′)=(xi,xj),(xi, ˉ x j),( ˉ x i,xj),( ˉ x i, ˉ x j)ll′( ˉ l$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$และด้วยขอบสีแดงและถ้าหากเป็นไปตามข้อไม่ปรากฏในφ$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

เป็นที่ชัดเจนว่าเราจะต้องพิจารณาการจับคู่สูงสุดในขอบดำเพื่อลดจำนวนขอบสีแดงหลังจากหดตัว นอกจากนี้ยังเป็นที่ชัดเจนว่าทุกสูงสุดจับคู่Mในขอบดำประกอบด้วยnขอบเชื่อมต่อเพื่อสำหรับฉัน = 1, ... , n ระบุนี้สูงสุดจับคู่Mที่มีการกำหนดความจริง\} มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าหลังจากทำสัญญาMและลบขอบขนานกราฟนั้นมีขอบสีแดงโดยที่kl ฉัน ∈ { x i , ˉ x i } { l 1 , … , l n } 4 ($v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$เป็นจำนวนของข้อที่พึงพอใจจากการมอบหมายความจริงนี้ ดังนั้นการลดจำนวนของขอบสีแดงหลังจากทำสัญญาการจับคู่ในขอบดำจะเท่ากับการเพิ่มจำนวนของคำสั่งที่พอใจ