ความซับซ้อนของการเชื่อมต่อที่ไม่เหมือนใคร

ฉันอยากจะรู้ว่าปัญหาดังต่อไปนี้สามารถตัดสินใจได้ใน (nondeterministic logspace):$\mathsf{NL}$

เมื่อกำหนดกราฟกำกับมีจุดยอดสองจุดsและt ที่แตกต่างกันมีเส้นทางที่ไม่ซ้ำกันจากsถึงtในGหรือไม่?$G$$s$$t$$s$$t$$G$

ผมรู้สึกว่ามันเป็นไปได้ที่จะอยู่ในตั้งแต่ที่เราสามารถตัดสินใจได้ทั้งถ้ามีs - เสื้อ -path และถ้าไม่มีเส้นทางดังกล่าว ทว่าการนับจำนวนเส้นทางดังกล่าวคือ♯ P -hard (Valiant, 1979)$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{\sharp P}$

ดังนั้นคำถามของฉัน: คุณมีการอ้างอิงเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? เห็นได้ชัดว่ามันอยู่ในหรือไม่? หรือว่ามันไม่ได้อยู่ในN L ?$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$

ดูเหมือนว่าปัญหาของคุณอยู่ใน L นี่คืออัลกอริทึม$NL$

ครั้งแรก nondeterministically เดาเส้นทางจากไปที หากคุณคิดว่าไม่ถูกต้องปฏิเสธ สอบถามขั้นตอนวิธีนี้$s$$t$$A$

พิจารณาอัลกอริทึม nondeterministic ต่อไปนี้ซึ่งกำหนดว่ามีอย่างน้อยสองเส้นทาง ได้รับกราฟและs , เสื้อสำหรับทุกคู่ที่แตกต่างกันของขอบE , F , เดาเส้นทางจากsไปทีที่มีอีแต่ไม่fแล้วเดาเส้นทางจากsไปทีที่มีฉแต่ไม่จ หากคาดเดาถูกต้องยอมรับ ถ้าไม่มีการยอมรับเกิดขึ้นสำหรับทุกทางเลือกของอีและf , ปฏิเสธ หมายเหตุ$B$$s,t$$e,f$$s$$t$$e$$f$$s$$t$$f$$e$$e$$f$$B$ สามารถนำไปใช้งานได้ใน logspace nondeterministic

ตอนนี้ชุดเป็นชุดของs - เสื้อกราฟที่มีอย่างน้อยสองเส้นทางจากsไปที เนื่องจากN L = c o N LการรวมกันของBยังอยู่ในN Lเช่นเราสามารถกำหนดได้ว่าsและtมีเส้นทางน้อยกว่าสองเส้นทางหรือไม่ใน logspace nondeterministic$L(B)$$s$$t$$s$$t$$NL = coNL$$B$$NL$$s$$t$

อัลกอริธึมสุดท้ายคือ: "Run ถ้าAยอมรับแล้วให้เรียกใช้ส่วนเติมเต็มของBและเอาท์พุทคำตอบของมันออกมา"$A$$A$$B$

ฉันไม่รู้การอ้างอิง

UPDATE:หากคุณต้องการข้อมูลอ้างอิงให้อ่านวรรคแรกของส่วนที่ 3 ของบทความนี้ แต่นี่อาจเป็นเพียงหนึ่งในการอ้างอิงจำนวนมากที่อ้างถึงผลลัพธ์นี้ มันจะเหมาะสมกว่าที่จะเรียกผลที่ได้ว่า "คติชนวิทยา" แทนที่จะอ้างถึงกระดาษที่พูดถึงมัน

ปรับปรุง 2:สมมติว่าคุณต้องการตรวจสอบว่ามีเส้นทางที่เรียบง่ายที่ไม่ซ้ำกัน ในกรณีนั้นอัลกอริทึมไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลง: หากมีเส้นทางเลยมีเส้นทางที่ง่าย ผมเชื่อว่าการปรับเปลี่ยนต่อไปนี้จะทำงานให้อัลกอริทึมB$A$$B$

เราต้องการเขียนอัลกอริทึมเพื่อให้ยอมรับถ้ามีเส้นทางอย่างน้อยสองเส้นทาง$B$

ก่อนอื่นให้พิจารณาอัลกอริธึมเวลาพหุนามต่อไปนี้สำหรับปัญหา หาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากsไปที สำหรับ edge eทุกตัวในPตรวจสอบว่ามีอีกอันหรือไม่$P$$s$$t$$e$$P$ -เสื้อเส้นทางที่ไม่ได้ไปผ่านอีเมล หากคุณพบว่าเส้นทางดังกล่าวนั้นยอมรับ หากคุณไม่เคยหาเส้นทางอื่นแล้วปฏิเสธ เนื่องจาก Pสั้นที่สุดจึงไม่มีวัฏจักรและถ้ามีอีกพา ธ ที่ไม่ได้ใช้ Pบางอันก็มีอีกเส้นทางที่เรียบง่ายและไม่ใช้ขอบ$s$$t$$e$$P$$P$$P$. (อัลกอริทึมนี้ใช้สำหรับปัญหา "เส้นทางที่สั้นที่สุดที่สอง")

เราจะดำเนินการตามขั้นตอนวิธีนี้ใน L หากเรามีอัลกอริทึมN Lสำหรับการค้นหาขอบeในเส้นทางคงที่$NL$$NL$$e$เราสามารถใช้ข้างต้นใน logspace nondeterministic: วนรอบขอบ eทั้งหมดใน P , เดาเส้นทาง s - tและตรวจสอบว่าทุกขอบที่เข้าชมตาม วิธีที่ไม่มีของพวกเขาจะเท่ากับอี$P$$e$$P$$s$$t$$e$

ดังนั้นสิ่งที่เราต้องการคือ "path oracle" อัลกอริทึมพร้อมคุณสมบัติ: กำหนดให้i = 1 , … , n , ในทุกเส้นทางการคำนวณอัลกอริทึมจะรายงาน$NL$$i=1,\ldots,n$$i$ขอบบนเส้นทาง - tคงที่หรือปฏิเสธ เราสามารถหา oracle ของเส้นทางโดยใช้N L = c o N Lเพื่อแยกเส้นทางแรกของ lexicographically$s$$t$$NL=coNL$

นี่คือภาพร่างของ oracle เส้นทาง

ค้นหาความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากsไปทีโดยพยายามทุกk = 1 , ... , nและการใช้N L = C o N L$k$$s$$t$$k=1,\ldots,n$$NL=coNL$

ตัวแปรชุด , x : = 1 , J : = k$u:=s$$x:=1$$j:=k$

สำหรับประเทศเพื่อนบ้านทั้งหมด of uตามลำดับคำศัพท์$v$$u$

กำหนดว่ามีเส้นทางจากถึงtของความยาวj - 1 หรือไม่ (ใช้ผลลัพธ์N L = c o N L ) แม่นยำยิ่งขึ้นเรียกใช้อัลกอริทึมแบบ nondeterministic สำหรับการเชื่อมต่อs - t (ความยาวj - 1 ) และอัลกอริทึมสำหรับการประกอบพร้อมกัน เมื่อหนึ่งในนั้นยอมรับไปพร้อมกับคำตอบ (ต้องถูกต้อง; ทั้งสองไม่สามารถยอมรับได้) หากทั้งสองปฏิเสธแล้วปฏิเสธ$v$$t$$j-1$$NL=coNL$$s$$t$$j-1$

หากไม่มีเส้นทางให้ไปยังเพื่อนบ้านคนถัดไป หากคุณได้หมดเพื่อนบ้านทั้งหมดแล้วปฏิเสธ

หากมีเส้นทางแล้วถ้าเอาท์พุท( U , V )เป็นฉันขอบ TH บนเส้นทางจากsไปที มิฉะนั้นการเพิ่มขึ้นxพร่องJตั้งU : = Vและเริ่มต้นสำหรับวงอีกครั้งถ้าวี≠ที$x=i$$(u,v)$$i$$s$$t$$x$$j$$u := v$$v \neq t$

ถ้าหลังจากที่ไปถึงเสื้อผลผลิตไม่ดีฉัน (ที่ให้ฉันมีขนาดใหญ่เกินไป)$x < i$$t$$i$$i$

กำหนดให้อัลกอริทึมนี้แสดงผลลัพธ์ขอบiบนพา ธ ที่สั้นที่สุด lexicographically Pจากsถึงtหรือปฏิเสธ$i$$i$$P$$s$$t$