โครงสร้างข้อมูลสำหรับเคียวรีผลิตภัณฑ์จุดต่ำสุด

$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

สิ่งเดียวที่ฉันสามารถทำได้คือ มันเป็นผลที่ตามมาทันทีของจอห์นสัน - Lindenstrauss บทแทรกที่ทุก ๆ$\varepsilon > 0$และการกระจาย$\mathcal{D}$บน$\mathbb{R}^n$มีการทำแผนที่เชิงเส้น$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$ (ซึ่งสามารถประเมินได้ในเวลา$O(n \log m)$ ) เช่นนั้น$\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$\ ดังนั้นในเวลา$O((n + m) \log m)$เราสามารถคำนวณได้สิ่งที่อยู่ในความรู้สึกใกล้กับ$\min_i \langle x, v_i \rangle$สำหรับส่วนใหญ่ของ$x$ (อย่างน้อยถ้าบรรทัดฐาน$\|x\|$และ$\|v_i\|$มีขนาดเล็ก)

UPDขอบเขตที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถเพิ่มความคมชัดให้กับเวลา$O(n + m)$หากเราใช้การแปลงค่าตามพื้นที่ แม่นยำมากขึ้นเราเลือก$k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$เวกเตอร์เสียนอิสระ$r_1, r_2, \ldots, r_k$r_k จากนั้นเราแมป$\mathbb{R}^n$ถึง$\{0,1\}^k$ดังนี้: $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$0) จากนั้นเราสามารถประมาณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวภายในข้อผิดพลาดการเติม$\varepsilon$โดยการคำนวณ$\ell_1$ระยะทางในภาพของการทำแผนที่นี้ ดังนั้นเราสามารถประมาณผลิตภัณฑ์ดอทภายในข้อผิดพลาดของสารเติมแต่ง$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$ใน$O(\frac{1}{\varepsilon^2})$เวลา

พิจารณากรณีพิเศษที่คุณเพียงแค่ต้องการตรวจสอบว่าเวกเตอร์แบบสอบถามของคุณเป็นมุมฉากกับเวกเตอร์บางส่วนในคอลเลกชันของคุณที่ประมวลผลแล้ว (นั่นคือคุณต้องการพิจารณาว่าซึ่งเวกเตอร์ที่อยู่ภายใต้การสนทนามีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบ) กรณีนี้น่าสนใจมาก$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

สมมติว่าคุณสามารถตอบคำถามในเวลาเวลาสำหรับโดยประมวลผลล่วงหน้า ( องศาของพหุนามไม่ควรขึ้นอยู่กับหรือหรือ )$n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

ในบทความ "อัลกอริธึมใหม่สำหรับความพึงพอใจสูงสุด 2 ข้อ จำกัด และความหมาย" ฉันสังเกตว่าโครงสร้างข้อมูลดังกล่าวจะช่วยให้คุณแก้ปัญหา CNF-SAT ได้ในเวลาสำหรับ , โดยที่คือจำนวนของตัวแปร นี้จะลบล้าง "Strong ชี้แจงเวลาสมมติฐาน" ที่ K-SAT ต้องใช้หลักเวลาสำหรับมากมายk$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

เพื่อดูว่าทำไมสมมติว่าเวลา preprocessing มีขอบเขตโดยค พิจารณาสูตร CNFกับตัวแปรและข้อ เราแบ่งชุดของตัวแปรออกเป็นสองส่วนและของขนาดและตามลำดับ แสดงรายการการมอบหมายที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้กับตัวแปรในชิ้นส่วน (รับและมอบหมายตามลำดับ) เชื่อมโยงแต่ละส่วนที่ได้รับมอบหมายบางส่วนกับเวกเตอร์ bitโดยที่ iff the$(nm)^c$F V n P 1 P 2โวลต์( 1 - 1 / ( 2 ค) ) V / ( 2 ค) 2 โวลต์( 1 - 1 / ( 2 ค) ) 2 V / ( 2 ค)ฉัน n W ฉันW ฉัน [ j ] = 1 $F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$ประโยคที่ห้าของไม่พอใจโดยดังนั้นเราจึงมีสองรายการของเวกเตอร์บิตจำนวนมากชี้แจงF A $F$$A_i$

ขอให้สังเกตว่าคือพอใจ IFF มีเวกเตอร์จากที่ได้รับมอบหมายในและเวกเตอร์จากที่ได้รับมอบหมายในดังกล่าวว่า0F w 1 P 1 w 2 P 2 ⟨ w 1 , w 2 ⟩ = $F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

ตอนนี้ให้และ preprocess โครงสร้างข้อมูลสันนิษฐานกับเวกเตอร์ทั้งหมดจากส่วนP_2สิ่งนี้ใช้เวลาตามสมมติฐาน เรียกใช้อัลกอริทึมการค้นหาบนเวกเตอร์ทั้งหมดจากผู้ที่ได้รับมอบหมายในส่วนP_1โดยสมมติฐานนี้ใช้เวลา(2C)} Let(2C)m = 2 v / ( 2 c ) P 2 n 2 v / 2 P 1 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) ⋅ n O ( 1 ) m 1 - δ = n O ( 1 ) 2 v - δ v / ( 2 c ) α = 1 - $m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

บางทีอาจเป็นไปได้ที่จะได้รับการประมวลผลล่วงหน้าที่มีประสิทธิภาพและเวลาสอบถามด้วยเทคนิคที่มีอยู่ อัลกอริทึม CNF-SAT ที่รู้จักกันดีที่สุดไม่ได้ตัดทอนมันออกไป (พวกมันได้อะไร ) แต่การคำนวณนั้นแรงกว่าเล็กน้อย - ในการตั้งค่านี้มันจะเหมือนกับการแก้ MAX CNF-SAT$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

นี่คือแนวคิดหนึ่งสำหรับคำตอบที่แน่นอนฉันสงสัยว่า Chao Xu อาจจะพูดพาดพิงถึง ก่อนอื่นให้สังเกตว่าเราอาจทำให้xเป็นปกติตามที่เจ้าชีทชี้ให้เห็น ตอนนี้พิจารณาไฮเปอร์เพลชั่วโมงปกติไปยังทิศทางที่x เป้าหมายคือการหาจุดที่ใกล้กับไฮเปอร์เพลนนี้มากที่สุด ตามความเป็นคู่สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อความค้นหาการถ่ายภาพรังสีในการจัดเรียงของไฮเปอร์เพลนเพื่อค้นหาระนาบที่ใกล้ที่สุด "เหนือ" จุดสอบถาม เนื่องจากสามารถประมวลผลได้ล่วงหน้าความซับซ้อนหลักคือตำแหน่งของจุดและดังนั้นปัญหาของคุณจึงถูกลดลงเป็นความซับซ้อนของการทำตำแหน่งจุดในการจัดเรียงของไฮเปอร์เพลน การใช้การตัดสามารถทำได้ในเวลาO ( บันทึกn )ในn $x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$ ช่องว่าง