ผสมลูกโซ่มาร์คอฟอย่างรวดเร็วใน 3 สีของวงจร


17

การเปลี่ยนแปลง Glauber เป็นสายมาร์คอฟบนสีของกราฟซึ่งในแต่ละขั้นตอนหนึ่งพยายามที่จะเปลี่ยนจุดสุดยอดแบบสุ่มเลือกด้วยสีแบบสุ่ม มันไม่ได้ผสมสำหรับ 3-colorings ของ 5-cycle: มี 30 3 colorings แต่เพียง 15 ของพวกเขาสามารถเข้าถึงได้โดยขั้นตอนการเปลี่ยนสีจุดสุดยอดเดียว โดยทั่วไปแล้วจะสามารถแสดงได้ว่าจะไม่ผสมกันสำหรับ 3 สีของวงจร n เว้นแต่ว่า n = 4

โซ่ Kempe หรือ Wang-Swendsen-Kotecký dynamics มีความซับซ้อนเพียงเล็กน้อย: ในแต่ละขั้นตอนจะเลือกจุดสุดยอด v และสุ่มสี c แต่จากนั้นจะพบ subgraph ที่เกิดจากสองสี (c และสีของ v) และสลับสีเหล่านี้ภายในส่วนประกอบที่มี v. มันไม่ยากที่จะเห็นว่าแตกต่างจากการเปลี่ยนแปลง Glauber ทั้ง 3 colorings ของรอบสามารถเข้าถึงได้

Wang-Swendsen-Koteckýมีการผสมกันอย่างรวดเร็วใน 3 สีของกราฟวัฏจักร n-vertex หรือไม่?

ฉันรู้ผลลัพธ์เช่นจาก Molloy (STOC 2002) ที่ Glauber ผสมกันอย่างรวดเร็วเมื่อจำนวนสีอย่างน้อย 1.489 เท่าของระดับ (จริงตรงนี้) และกราฟที่มีสีมีเส้นรอบวงสูง (เช่นจริง) แต่พวกเขายัง ต้องการให้ระดับอย่างน้อยเป็นลอการิทึมในขนาดของกราฟ (ไม่เป็นจริงสำหรับกราฟวัฏจักร) ดังนั้นจึงดูเหมือนจะไม่มีผล

คำตอบ:


3

ฉันได้รับการแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ทางอีเมลจาก Dana Randall ดังนั้นเครดิตใด ๆ สำหรับการแก้ปัญหาควรไปหาเธอ (ซึ่งฉันคิดว่าหมายถึง: อย่าถอนคำตอบนี้) และข้อผิดพลาดใด ๆ

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ของ Dana คือ: แทนที่จะใช้ลูกโซ่มาร์คอฟที่ฉันอธิบายซึ่งอาจมีการเปลี่ยนสีพื้นที่สองสีที่มีขนาดใหญ่ให้ใช้ "อ่างความร้อน" ซึ่งเราจะลบสีของจุดยอดสองจุดซ้ำ ๆ ระบายสีสำหรับพวกเขาโดยการสุ่ม มันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าถ้าเชนนี้ผสมกันส่วนอื่นก็ทำเช่นกัน แต่ข้อโต้แย้งการมีเพศสัมพันธ์เส้นทางมาตรฐานกลับกลายเป็นว่าทำงานเพื่อแสดงให้เห็นว่าอ่างน้ำร้อนผสมกัน

รุ่นยาวยาวเกินไปที่จะรวมไว้ที่นี่ดังนั้นฉันจึงใส่มันลงในโพสต์บล็อกแทน

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.