การแก้ n × n × n Rubik's Cube NP-hard อย่างเหมาะสมหรือไม่

พิจารณาเห็นได้ชัดทั่วไปของRubik 's Cube มันเป็นเรื่องยากไหมที่จะคำนวณลำดับการเคลื่อนที่ที่สั้นที่สุดที่แก้ปัญหาสัญญาณรบกวนที่กำหนดหรือมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามหรือไม่? $n\times n\times n$

[ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องบางอย่างมีการอธิบายไว้ในโพสต์บล็อกล่าสุดของฉัน ]

— Jeffε
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าอินพุตจะได้รับเป็นกริดหก n × n ที่ทำจาก {1, …, 6} เป็นปัญหาใน NP หรือไม่ มีขอบเขตพหุนามง่าย ๆ กับจำนวนการเคลื่อนที่ในคิวบ์ Rubik's n × n × n หรือไม่?

— Tsuyoshi Ito

ขอบคุณสำหรับข้อมูล. มีการอ้างอิงใด ๆ ?

— Tsuyoshi Ito

ปัญหาจะง่ายขึ้นไหมถ้ามันสบายใจที่จะ "ให้การตั้งค่าสร้างวิธีแก้ปัญหาที่ใช้จำนวนการเคลื่อนไหวของพระเจ้า (n, n, n)"? นั่นคือสิ่งที่อัลกอริทึมการแก้ปัญหาของรูบิคทำ พวกเขาไม่ได้มองหาที่สั้นที่สุดเพราะอาจใช้เวลานานเกินไป

— Aaron Sterling

เรารู้หรือไม่ว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของพื้นที่กำหนดค่าที่สามารถเข้าถึงได้คือ ?

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Andy Drucker

@Andy: คำถามที่ดี! ("หน้าที่ของพระเจ้าคืออะไร?")

— Jeff n

คำตอบ:

หนึ่งในเอกสารของฉันเพิ่งโพสต์ไปที่ arXiv และตอบคำถามนี้: การแก้ Cube ของ Rubik อย่างสมบูรณ์ที่สุดคือ NP-complete

— Mikhail Rudoy
แหล่งที่มา

ขอแสดงความยินดี !!

— Jeffε

กระดาษใหม่โดย Demaine, Demaine, Eisenstat, Lubiw และพระพุทธเจ้าทำให้ความคืบหน้าบางส่วนสำหรับคำถามนี้ --- มันให้อัลกอริทึมพหุนามเวลาสำหรับการแก้ปัญหาก้อนอย่างเหมาะสมและแสดง - ความทนทานสำหรับการแก้ไขสิ่งที่คุณอาจเรียกว่าคิวบ์ "สีบางส่วน" อย่างเหมาะสมที่สุด นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่ากำหนดพื้นที่ก้อนมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง ) $n \times O(1) \times O(1)$ $\mathsf{NP}$ $n \times n \times n$ $\Theta(n^2/\log n)$

หวาน!

หนึ่งคำถามต่อไปเป็นไปได้ว่าการทำงานของพวกเขาดูเหมือนว่าจะแนะนำ: จะมีการแก้ไขในครอบครัวบางส่วนสีก้อนหนึ่งสำหรับค่าของแต่ละเช่นที่ดีที่สุดในการแก้จากการกำหนดค่าให้เป็น -hard? $n \times n \times n$ $n$ $\mathsf{NP}$

— Andy Drucker
แหล่งที่มา

ตกลงและอีกหนึ่งคำถาม: มีอะไรซับซ้อนของการพิจารณาว่าสองสีที่ไม่เป็นมาตรฐานของ

ก้อนเทียบเท่า? (สองกรณีที่ต้องพิจารณา: การระบายสีที่สมบูรณ์หรือบางส่วน)

n \times n \times n

$n \times n \times n$

— Andy Drucker

เอาล่ะคำถามอีกข้อหนึ่งแล้วฉันจะหยุด: มีลำดับการกำหนดค่าที่ชัดเจนซึ่งต้องใช้การย้าย

เพื่อแก้ปัญหาหรือไม่ (กระดาษใช้อาร์กิวเมนต์การนับสำหรับขอบเขตล่าง)

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

— Andy Drucker

อาจมีข้อผิดพลาดในเรื่องนี้ได้อย่างง่ายดายดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณพบจุดใดจุดหนึ่ง

ดูเหมือนว่าคำตอบคือไม่หรืออย่างน้อยก็มีปัญหานี้อยู่ใน NP เหตุผลที่อยู่เบื้องหลังนี้ง่ายมาก แนวคิดคือการสร้างขึ้นจากคำถามอื่น: "คุณจะได้รับระหว่างการกำหนดค่า A และการกำหนดค่า B ในขั้นตอน S หรือน้อยกว่า"

เห็นได้ชัดว่าคำถามใหม่นี้อยู่ใน NP เพราะมีอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาคิวบ์จากการกำหนดค่าที่แก้ไขได้และเพื่อให้ผ่านสถานะที่แก้ไขแล้วจะใช้เวลาเพียงระหว่างสองการกำหนดค่า เนื่องจากมีจำนวนการเคลื่อนไหวพหุนามเพียงจำนวนชุดการเคลื่อนที่ที่จะไประหว่างการกำหนดค่าสองแบบจึงสามารถใช้เป็นพยานสำหรับคำถามใหม่นี้ได้ $O(n^2)$ $O(n^2)$

ทีนี้ก่อนอื่นถ้าเราเลือกการตั้งค่า B ให้เป็นสถานะที่แก้ไขแล้วเรามีปัญหาที่ถามว่ามันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาลูกบาศก์ในขั้นตอนหรือน้อยกว่าซึ่งมีอยู่ใน NP $S$

ตอนนี้ให้เลือกการกำหนดค่าที่แตกต่างกันสำหรับ B ซึ่งผมจะเรียกซึ่งจะใช้เวลาขั้นตอนในการแก้ปัญหา ตอนนี้ถ้าเราถามว่ามันเป็นไปได้ที่จะได้รับระหว่างการกำหนดค่า A และในขั้นตอนหรือน้อยกว่าเราอีกครั้งมีปัญหาใน NP กับลำดับของการเคลื่อนไหวเป็นพยานได้ แต่เนื่องจากเรารู้ว่าใช้เวลา $B_{hard}$ $n_{hard} \approx n^2$ $B_{hard}$ $S'$ $B_{hard}$ $n_{hard}$ ขั้นตอนในการแก้ปัญหาเรารู้ว่าถ้ามันเป็นไปได้ที่จะไประหว่าง A และในขั้นตอนแล้วมันต้องมีอย่างน้อยขั้นตอนในการแก้ก้อนจาก การกำหนดค่า A. $B_{hard}$ $S'$ $n_{hard} - S'$ $n \times n \times n$

ดังนั้นเรามีพยานสำหรับทั้งขอบเขตล่างของ steps และขอบเขตล่างของขั้นตอนเพื่อแก้ไขจากการตั้งค่า A ถ้าเราเลือกเป็นจำนวนขั้นต่ำของการย้ายที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการเริ่มลูกบาศก์ ด้วยการกำหนดค่า A ดังนั้นถ้าเราเลือกขอบเขตล่างและบนให้เท่ากัน (เช่นและ $n_{hard} - S'$ $S$ $S_0$ $S' = n_{hard} - S_0$ $S = S_0$ ) จากนั้นเรามีพยานหลักฐานว่าวิธีนี้เหมาะสมที่สุด (ประกอบด้วยพยานของปัญหาสองปัญหาที่เกี่ยวข้องกับขอบเขต)

สุดท้ายเราต้องมีวิธีการสร้าง dเราอาจต้องการการกำหนดค่าที่ยากที่สุด แต่เนื่องจากฉันไม่รู้ว่าจะหาได้อย่างไรฉันขอแนะนำให้หมุนระนาบที่สองทุกครั้งหนึ่งครั้งเกี่ยวกับแกน x จากนั้นทุกระนาบที่สี่ (ทำให้ระนาบกลางคงที่) หนึ่งครั้งเกี่ยวกับ แกน z ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้นำไปสู่รัฐที่ต้องใช้ขั้นตอนเพื่อแก้ไข $B_{hard}$ $O(n^2)$

ดังนั้นผมไม่ได้มีหลักฐานที่สร้างสรรค์เต็ม แต่ทางออกที่ดีที่สุดการใด ๆ ที่น้อยกว่าชัดเจนมีพยาน แต่น่าเสียดายที่แน่นอนในการจับภาพการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คุณจะต้อง ) $n_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

แก้ไข: ความสม่ำเสมอของการกำหนดค่า Superflip ทำให้ดูเหมือนว่าการสร้างสำหรับอาจจะค่อนข้างง่าย (เช่นใน P) $B_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ไอเดียเรียบร้อย อย่างไรก็ตามนี่ไม่ได้สมมติว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดที่อยู่ห่างกันสามารถนำไปผ่านจุดอื่นได้ นั่นเป็นความจริงที่ชัดเจนสำหรับจุดบนทรงกลม (หากคุณกำลังบินจากขั้วโลกเหนือไปยังขั้วโลกใต้คุณอาจบินด้วยวิธีของตาฮิติ) แต่มีเหตุผลใดที่ควรเป็นจริงสำหรับการกำหนดค่าลูกบาศก์ของรูบิค?

— Peter Shor

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

A

$A$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

n_{h a r d} - S^{'} \leq S_{0} \leq n_{h a r d} + S^{'}

$n_{hard}-S' \leq S_0 \leq n_{hard} + S'$

S_{0}

$S_0$

S_{0}

$S_0$

_{h a r d}

$_\mathrm{hard}$

@ โจ: ไม่ต้องกังวลกับการโพสต์คำตอบที่คิดครึ่ง ฉันทำสิ่งเดียวกัน (และฉันไม่ใช่คนเดียว) และฉันไม่มั่นใจว่าวิธีการนี้ไร้ค่าอย่างสมบูรณ์ ฉันคาดหวังว่ามันจะไม่ทำงานเพื่อแสดงการคำนวณระยะทางที่แน่นอนไม่ใช่ปัญหา NP-hard แต่บางทีมันอาจพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับการประมาณมัน

— Peter Shor