จำนวนภาษาที่ยอมรับโดย DFA ขนาด

คำถามนั้นง่ายและตรงไปตรงมา: สำหรับตายตัวมีกี่ภาษา (ต่างกัน) ที่ได้รับการยอมรับโดย DFA ที่มีขนาด (เช่นฯ ) ฉันจะระบุอย่างเป็นทางการนี้: $n$ $n$ $n$

กำหนด DFA เป็นซึ่งทุกอย่างเป็นไปตามปกติและเป็นฟังก์ชั่น (อาจเป็นบางส่วน) เราจำเป็นต้องสร้างสิ่งนี้เพราะบางครั้งฟังก์ชั่นทั้งหมดเท่านั้นที่ถือว่าถูกต้อง $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

ทุก , กำหนด (ความสมดุล) ความสัมพันธ์ในชุดของ DFAs ทั้งหมดเป็น: ถ้าและ ) $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

คำถามคือ: สำหรับที่ระบุแล้วดัชนีของคืออะไร? นั่นคือขนาดของชุด ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

แม้ว่าจะเป็นฟังก์ชั่นทั้งหมด แต่ดูเหมือนว่าจะไม่นับง่าย (สำหรับฉันอย่างน้อย) กราฟอาจไม่ได้รับการติดต่อและมีรัฐที่อยู่ในองค์ประกอบที่เชื่อมต่อที่มีสถานะเริ่มต้นอาจจะมีการยอมรับดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นมีหลายกราฟขนาดยอมรับ *เช่นเดียวกันกับชุดค่าผสมเล็กน้อยอื่น ๆ สำหรับภาษาที่ว่างเปล่าและภาษาอื่น ๆ ที่ DFA น้อยที่สุดมีน้อยกว่ารัฐ $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

การเรียกซ้ำ (ไร้เดียงสา) ก็ไม่ทำงานเช่นกัน หากเราใช้ DFA ขนาดและเพิ่มสถานะใหม่ดังนั้นหากเราต้องการรักษาระดับและทำให้กราฟใหม่เชื่อมต่อ (เพื่อหลีกเลี่ยงกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ) เราต้องลบการเปลี่ยนแปลงเพื่อเชื่อมต่อสถานะใหม่ แต่ ในกรณีนั้นเราอาจสูญเสียภาษาต้นฉบับ $k$

ความคิดใด ๆ

บันทึก. ฉันอัพเดตคำถามอีกครั้งด้วยคำแถลงอย่างเป็นทางการและไม่มีองค์ประกอบที่ทำให้เสียสมาธิก่อนหน้านี้

— Janoma
แหล่งที่มา

เพื่ออธิบายอย่างชัดเจน: คุณหมายถึง "มีกี่ภาษาที่สามารถกำหนดโดยใช้

สหรัฐฯ?" ซึ่งภาษาถูกกำหนดโดยใช้

ฯ หากมี DFA ที่มี

ฯ ที่รับได้ นอกจากนี้สำหรับนิพจน์ทั่วไป regex "a * aaaaaa" มีการเชื่อมต่อ> 1 ครั้ง แต่ DFA ต้องการเพียงหนึ่งสถานะเท่านั้น (สองถ้าคุณต้องการแยกต่างหาก) ใช่ไหม

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Evgenij Thorstensen

ขอโทษ: สำหรับตัวอย่าง regex มันควรจะเป็น " A *" ในขณะที่ไม่อนุญาตให้หมายเลขใด ๆ

— Evgenij Thorstensen

c (r)

$c(r)$

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

ฉันคิดว่าคำถามนี้ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้ Mike Domaratzki เขียนแบบสอบถามเกี่ยวกับการวิจัยในพื้นที่นี้: "การแจงนับของภาษาที่เป็นทางการ", กระทิง EATCS ฉบับที่ 89 (มิถุนายน 2549), 113-133: http://www.eatcs.org/images/bulletin/beatcs89.pdf

— Hermann Gruber
แหล่งที่มา

g_{k} (n)

$g_k(n)$

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$