ทฤษฎีบทของ Ladner

ทฤษฎีบทของ Ladnerกล่าวว่าถ้า P ≠ NP ก็มีลำดับชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดของคลาสความซับซ้อนอย่างเคร่งครัดที่มี P และมีอยู่ใน NP อย่างเคร่งครัด หลักฐานใช้ความสมบูรณ์ของ SAT ภายใต้การลดลงของ NP ลำดับชั้นประกอบด้วยคลาสความซับซ้อนที่สร้างขึ้นโดย diagonalization แต่ละภาษามีบางภาษาที่ภาษาในคลาสที่ต่ำกว่าไม่สามารถลดได้หลายภาษา

สิ่งนี้กระตุ้นให้คำถามของฉัน:

ให้ C เป็นคลาสที่ซับซ้อนและปล่อยให้ D เป็นคลาสที่ซับซ้อนซึ่งมี C อย่างเคร่งครัดหาก D มีภาษาที่สมบูรณ์สำหรับความคิดในการลดลงจะมีลำดับชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดของคลาสความซับซ้อนระหว่าง C และ D ที่เกี่ยวข้องกับ ลดลง?

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการทราบว่ามีผลลัพธ์ที่ทราบสำหรับ D = P และ C = LOGCFLหรือ C = NCสำหรับความคิดที่เหมาะสมของการลด

กระดาษของ Ladner ได้รวมทฤษฎีบท 7 ไว้สำหรับชั้นเรียนที่ จำกัด พื้นที่ C แล้วขณะที่ Kaveh ชี้ให้เห็นในคำตอบ ในรูปแบบที่แข็งแกร่งที่สุดสิ่งนี้บอกว่า: หาก NL ≠ NP มีลำดับภาษาที่ไม่สิ้นสุดระหว่าง NL และ NP ซึ่งมีความแข็งเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด นี่เป็นเรื่องธรรมดามากกว่าเวอร์ชั่นปกติเล็กน้อย (ทฤษฎีบท 1) ซึ่งมีเงื่อนไขใน P ≠ NP อย่างไรก็ตามกระดาษของ Ladner พิจารณาเพียง D = NP

คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือ "ใช่" สำหรับคลาสและการลดขนาดที่หลากหลายรวมถึงการลดพื้นที่ว่างและชั้นเรียนที่คุณกล่าวถึงตามที่ได้รับการพิสูจน์ในเอกสารเหล่านี้:

H. Vollmer มีการทบทวนเทคนิคภาษาของช่องว่างอีกครั้ง ลอจิกวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, หมายเหตุการบรรยายในสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ 533, หน้า 389-399, 1990

K. Regan และ H. Vollmer Gap ภาษาและการเรียนซับซ้อนบันทึกเวลา ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ 188 (1-2): 101-116, 1997

(คุณสามารถดาวน์โหลดไฟล์ Postscript gzipped ของเอกสารเหล่านี้ได้ที่นี่ )

การพิสูจน์ตามหลักการพื้นฐานของการขยายทฤษฎีบทของ Ladner ของ Uwe Schöning:

Uwe Schöning วิธีการที่จะได้รับเครื่องแบบชุดเส้นทแยงมุมในชั้นเรียนของความซับซ้อน วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 18 (1): 95-103, 1982

การพิสูจน์ของSchöningเป็นบทพิสูจน์ที่ชื่นชอบสำหรับทฤษฎีบทของ Ladner เสมอมาทั้งง่ายและทั่วไป

มีความเป็นไปได้สูงมากที่คุณจะประสบความสำเร็จในการตั้งค่าทั่วไป เกือบจะแน่นอนว่าผลลัพธ์ดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้วในสภาพแวดล้อมทั่วไปแล้ว แต่การอ้างอิงได้หลบหนีฉันในขณะนี้ ดังนั้นนี่คือข้อโต้แย้งตั้งแต่เริ่มต้น

$L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$$P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

$C=L$$NC$

ปรับปรุง

ตรวจสอบเอกสารของ Ladner เกี่ยวกับโครงสร้างของการลดเวลาพหุนาม

$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

ดูหัวข้อ 6 ที่กล่าวถึงการทำให้เป็นเรื่องทั่วไปด้วย:

ทฤษฎีบท 5. หากเป็นคลาสเวลาแล้วและมีความสัมพันธ์ที่สะท้อนและสกรรมกริยาและทฤษฎีบท 1-4 ถือกับแทนที่ด้วยC$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

ทฤษฎีบท 7. หากเป็นระดับพื้นที่แล้วและมีความสัมพันธ์ที่สะท้อนและสกรรมกริยาและทฤษฎีบท 1-4 ถือกับแทนที่ด้วยC$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

คลาสเวลาข้อกำหนดและคลาสพื้นที่ถูกกำหนดไว้ในกระดาษ

ผมถามคำถามคล้ายกับปีเตอร์เชอร์ที่ Mathoverflow ที่นี่ ตามที่เขาพูดเขาไม่ได้ตระหนักถึงผลดังกล่าว

นอกจากนี้ไรอันวิลเลียมส์พูดถึงสิ่งที่ตลกเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Ladner แต่ฉันไม่สามารถหาลิงก์ได้ มันเป็นอะไรแบบนี้: "การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ladner เป็นขั้นตอนเหมือนผีดิบที่คุณเอาหัวและลำตัวของปัญหา NP-complete แล้วต่อแขนและขาของอัลกอริธึมเวลาพหุนาม" มันเป็นวิธีที่ค่อนข้างแปลกประหลาดที่จะกำหนดเป็นภาษา NP-กลางสมมติP$NP\neq P$

ผมยังคิดเกี่ยวกับมันและบางทีคุณอาจจะใช้ขั้นตอนผีดิบเหมือนไรอันเช่นนี้ Let จะเป็นชุดที่สมบูรณ์แบบสำหรับและให้ P จากนั้นคุณสามารถใช้สองวิธีในการพิสูจน์บนโดยการเป่าหลุมหรือช่องว่างภายใน$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

ปัญหาที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือการพิจารณาลักษณะทั่วไปของ Ladner ต่อคลาสที่มีความหมายเช่นสัญญา BPP, contractMA เป็นต้น