อาร์ตแกลเลอรี่มีหลากหลายรูปแบบให้มองเห็นเป็นคู่หรือไม่?

ปัญหาแกลเลอรีศิลปะแบบดั้งเดิมตั้งค่าภูมิภาคและผู้คุมด้วยแนวคิดเรื่องการมองเห็นและขอจำนวนยามน้อยที่สุดที่จำเป็นต้องวางเพื่อดูทั่วทั้งภูมิภาค

มีใครเคยมองที่อาร์ตแกลเลอรี่สายพันธุ์ที่เขตการมองเห็นที่ถูกกำหนดให้แทนโดยคู่ของยาม ตัวอย่างเช่นสูตรหนึ่งอาจเป็นจุดที่ครอบคลุมถ้ามีคู่ของยามที่มีดิสก์ขอบเขตต่ำสุดครอบคลุมหรือไม่

ฉันไม่ได้ตระหนักถึงงานดังกล่าว อย่างไรก็ตามฉันคาดหวังว่าปัญหาดังกล่าวจะเป็นปัญหาแบบสมบูรณ์และสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีรู ปัญหาการป้องกันจุดสุดยอดค่อนข้างตรงไปตรงมา / จุดยอดซึ่งในยามสามารถนอนอยู่บนจุดยอดและจุดยอดเท่านั้นที่ต้องได้รับการป้องกันนี่เป็นเรื่องยาก ( Eidenbenz, Stamm และ Widmayer (2001) )

สำหรับรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายฉันคาดหวังว่าปัญหาดังกล่าวจะเป็น:

• NP-สมบูรณ์
• APX ยาก
• ใกล้เคียงกับปัจจัยภายในของโดยที่ opt คือจำนวนยามที่เหมาะสม$O(\log(\rm{opt}))$

ปัญหาการป้องกันจุดสุดยอด / การป้องกันจุดสุดยอดคือ APX-hard สำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย ( Eidenbenz (1998) )

อัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาอาร์ตแกลเลอรี่สำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายนั้นมาจากการสร้าง -nets ในรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายช่องว่างช่วงที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมการมองเห็นมีมิติ VC คงที่ แวดวงทำเช่นกัน ดังนั้นช่องว่างช่วงที่เกิดจากการมองเห็นรูปหลายเหลี่ยมในรูปหลายเหลี่ยมวงกลมและทางแยกและสหภาพนั้นจะมีมิติ VC คงที่และคุณจะได้รับ - อัลกอริธึมการประมาณ$\varepsilon$$O(\log(\rm{opt}))$

ฉันคิดเกี่ยวกับปัญหานี้เล็กน้อยสำหรับวิทยานิพนธ์ของฉัน แต่มาถึงความคิดเห็นที่ไม่มีตัวแปรที่น่าสนใจโดยเฉพาะที่ดูเหมือนจะไม่ลดลงค่อนข้างใกล้เคียงกับปัญหาที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับการป้องกันแบบเดี่ยว

ค่อนข้างช้าสำหรับคำถามนี้ (ขออภัย!) อย่างน้อยก็มีงานนิดหน่อย

(1) ปรากฏขึ้นนี้จะเป็นปริญญาตรี (วาร์ ธ ) งานวิจัย: "ที่เหมาะสมครอบคลุมคู่ในหอศิลป์" สกอตต์ Dalane, แอนดรูเฟรมพ์ปี 2008 เชื่อมโยงรูปแบบไฟล์ PDF จากบทสรุปของพวกเขา:

หลังจากทดสอบอัลกอริทึมของเราเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อนมากขึ้นอัลกอริทึมของเราทำได้ง่ายกว่าการวางกล้องสำหรับการครอบคลุมสองเท่าของกล้องนอกกรณีที่เลวร้ายที่สุดในขณะที่โปรแกรมทั้งหมดทำงานใน ...$\lfloor 2n/3 \rfloor$$n^2$

(2) ฉันพบปริญญาเอกภาษาเยอรมันปี 2007 วิทยานิพนธ์ "ที่ตั้งสิ่งอำนวยความสะดวกและปัญหาที่เกี่ยวข้อง" โดย Martin Romauch ( ลิงก์ PDF ) ซึ่งรวมถึงบทเกี่ยวกับปัญหา "Vertex Guard Double Cover" แสดงให้เห็นว่าเป็นเรื่องยากสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีรู เขายังแสดงให้เห็นว่าขอบเขต combinatorial ที่ถูกต้องคือ (ผิดหวังอย่างเห็นได้ชัด!) ฉันได้อ่านผ่านเรื่องนี้ไปเพียงอย่างเดียว แต่มันก็คุ้มค่าที่จะดู$\lfloor 2n/3 \rfloor$