การหาระนาบการตัดที่แยกรูปทรงหลายเหลี่ยมอย่างเท่าเทียมกัน

สมมติว่าเรามีรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบมาตรฐาน:

\begin{aligned} A x = b \\ x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$

มีวิธีการใด ๆ ที่รู้จักกันในการหาไฮเปอร์เพลนที่แยกโพลีเฮดตรอนในลักษณะที่จำนวนจุดยอดในแต่ละด้านของไฮเปอร์เพลนนั้นเท่ากันหรือไม่? (นั่นคืออัลกอริธึมที่ลดความแตกต่างที่แน่นอนของจุดสุดยอดด้านที่สองด้านของการแยก) $\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ใด ๆ ที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหานี้หรือไม่

ภาคผนวก: การ จำกัด ประเภทของการตัด:

นี่คือการเปลี่ยนแปลงของปัญหาดั้งเดิมด้วยความหวังว่ามันจะง่ายต่อการแก้ปัญหากว่าเดิม:

มีวิธีการได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือคำนวณประมาณการที่ประสานงานไฮเปอร์เพลนของรูปแบบจะให้ผลผลิตแตกต่างแน่นอนต่ำสุดของ cardinalities จุดสุดยอดทั้งสองด้านของการแยกหรือไม่ โดยการที่มีประสิทธิภาพฉันหมายถึงสิ่งใดที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการนับอย่างละเอียดของความเป็นหัวใจเชิงยอดสำหรับการแยกดังกล่าวที่เป็นไปได้ทั้งหมด $i$ $d_ix_i + d_0 = 0$

หมายเหตุ:หลังจากไม่กี่วันของความคืบหน้าเล็กน้อยฉันโพสต์คำถามนี้ที่MathOverflowด้วย

ds.algorithms linear-programming linear-algebra

— Amelio Vazquez-Reina
แหล่งที่มา

ไม่ควรที่จะพิสูจน์ได้ว่านี่เป็นปัญหา NP-hard หรือไม่?

— Peter Shor

ขอบคุณ @ Peter หลักฐานจะดีมาก ที่กล่าวว่าฉันคิดว่าปัญหาเป็นเรื่องยากและฉันคิดว่าฉันสนใจฮิวริสติกหรืออัลกอริทึมการประมาณ แรงบันดาลใจที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดในการ จำกัด ประเภทของการตัดนั้นเป็นส่วนหนึ่งเพื่อดูว่ามีปัญหาทั่วไปที่เปลี่ยนแปลงได้ง่ายขึ้นซึ่งเราได้รู้จักวิธีการแก้ปัญหาหรืออัลกอริทึมการประมาณ

— Amelio Vazquez-Reina

สิ่งที่เกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่างตามสายเหล่านี้ (ไม่แน่ใจว่ามันทำงาน) - เรารู้ว่าการนับจำนวนการจับคู่สองฝ่ายสูงสุดคือ # P-hard นอกจากนี้เรายังทราบว่าโปรแกรมเชิงเส้นเพื่อค้นหาการจับคู่สองฝ่ายที่สูงสุดนั้นไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ทั้งสิ้นดังนั้นการแก้จุดที่เป็นไปได้ / มุมที่เป็นไปได้ขั้นพื้นฐานนั้นเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับปัญหาการจับคู่สองฝ่ายสูงสุดให้ค้นหาค่าของการจับคู่ สร้างโปรแกรมเชิงเส้นด้วยข้อ จำกัด ที่โซลูชันใด ๆ จะต้องมีค่าที่เหมาะสมที่สุด จากนั้นทุกมุมของจุดคือการจับคู่ ความสามารถในการหารซ้ำ ๆ อย่างสม่ำเสมอหมายความว่าคุณควรนับจำนวนการแข่งขัน

— เลือก

ไม่เป็นไร. เราจะต้องสามารถนับจำนวนจุดยอดที่เพิ่มเข้ามาด้วยระนาบการตัดได้เช่นกัน

— เลือก

-2

ฉันจำวิธีวิเคราะห์ไม่ได้!

แต่นี่เป็นปัญหาคลาสสิกสำหรับการเขียนโปรแกรมทางพันธุกรรม! หากคุณคุ้นเคยกับมันคุณสามารถใช้เวกเตอร์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานได้ที่กึ่งกลางของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายระนาบการตัด

ดังนั้นประชากรของคุณคือชุดของเวกเตอร์ที่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน [x, y, z, ... ] และเป็นฟังก์ชั่นที่เหมาะสมคุณใช้ความแตกต่างระหว่างปริมาตรที่แบ่ง 2 อัน!

ดังนั้นหากความแตกต่างมีแนวโน้มที่จะ "พอดี" มากกว่าศูนย์คือเวกเตอร์ / ระนาบของคุณ!

— eduardo pons
แหล่งที่มา

ขออภัยคุณสามารถพูดอีกครั้งโดยไม่ใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมทางพันธุกรรม? "ประชากร" คืออะไร "ฟังก์ชั่นกระชับ" คืออะไร?

— Jeffε