FPT vs W [P] - ความซับซ้อนแบบ Parameterized

ในความซับซ้อน parametrized, ⊆ W [ 2 ] ⊆ ... ⊆ W [ P ] มันถูกคาดเดาว่าแต่ละข้อบรรจุนั้นเหมาะสม$\mathsf{FPT} \subseteq \mathsf{W}[1]$ $\subseteq \mathsf{W}[2]$ $\subseteq \ldots \subseteq \mathsf{W}[P]$

ถ้าแล้วP = W [ P ]$\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$$\mathsf{P}=\mathsf{W}[P]$

แต่มันเป็นไปตามนั้น

• ถ้าดังนั้นF P T = W [ P ] ? หรือ$\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[1]$$\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$
• ถ้า (สำหรับบาง t) ดังนั้นF P T = W [ P ] ?$\mathsf{W}[t-1]=\mathsf{W}[t]$$\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$

คำถามนี้มีเล่ห์เหลี่ยมเป็นคำตอบ (เท่าที่ฉันรู้) ยัง "ไม่รู้"

ในการเพิ่มน้ำหนักให้กับสิ่งนี้ Flum & Grohe [1] ให้ปัญหาแบบเปิด (หน้า 164):

• เป็น -hierarchy เข้มงวดภายใต้สมมติฐานF P T ≠ W [ P ] ?$\mathrm{W}$$\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W[P]}$
• สำหรับความเสมอภาคW [ t ] = W [ t + 1 ]หมายถึงW [ t ] = W [ t + 2 ]หรือไม่$t \geq 1$$\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 1]$$\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 2]$

ยิ่งไปกว่านั้นในเอกสารล่าสุดของดาวนีย์และเฟลโลว์ [2] ข้อความที่แข็งแกร่งที่สุด (ทันที) ที่พวกเขาทำคือ (หน้า 521):

สมมติฐานที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นก็คือว่า -hierarchy เป็นที่เหมาะสมและโดยเฉพาะอย่างยิ่งW [ 1 ] ≠ W [ 2 ]$\mathrm{W}$$\mathrm{W}[1] \neq \mathrm{W}[2]$

ไม่มีคำสั่ง (หรือภายหลัง) ตามบรรทัด "มิฉะนั้นลำดับชั้นจะยุบ" หรือคล้ายกัน$\mathrm{W}$

สิ่งนี้นำหน้าด้วย:

สมมติฐานที่อ่อนแอกว่าอาจเป็นเช่นนั้นสำหรับบาง , F P T ≠ W [ t $t$

$$\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W}[t]$$

การอนุมานว่าเป็นไปได้ว่าโดยไม่มีผลกระทบอื่น ๆ ในลำดับชั้น$\mathrm{FPT} = \mathrm{W}[t-1]$

อ้างอิง:

1. J. Flum และ M. Grohe, "Parameterized Complexity Theory", Springer, 2006
2. R. Downey และ M. Fellows, "ความรู้พื้นฐานของทฤษฎีความซับซ้อนแบบ Parameterized", Springer, 2014