ผลที่ตามมาของและ ?


12

เรารู้ว่าถ้าดังนั้นค่า PH ทั้งหมดจะลดลง เกิดอะไรขึ้นถ้าลำดับชั้นพหุนามยุบลงบางส่วน? (หรือวิธีการที่จะเข้าใจว่า PH อาจถล่มเหนือจุดที่แน่นอนและไม่อยู่ด้านล่าง)P=NP

กล่าวโดยย่อคืออะไรผลที่ตามมาของและคืออะไร?P N PNP=coNPPNP


3
ในกรณีนี้ PH ยังคงยุบอยู่ (เป็นระดับที่ 1 มากกว่าระดับที่ 0)
Huck Bennett

ประโยคแรกดูเหมือนว่าจะอธิบายว่า "เรากำลังมีปัญหาถ้า P = NP ไม่ได้เพราะลำดับชั้นยุบ" ซึ่งไม่ถูกต้อง
Kaveh

2
@ ฮัคฉันคิดว่า OP อาจจะพยายามถามว่าอะไรคือผลที่ตามมาของ PH ที่ยุบไปถึงระดับที่ 1 แล้วเราจะสามารถแก้ปัญหาที่ยอดเยี่ยมได้อย่างไร
Artem Kaznatcheev

@Xavier: ทำไมคุณพูดว่า"... และเรากำลังมีปัญหา" P = NP และการล่มสลายของ PH ที่ตามมาจะยอดเยี่ยมเพียง ;-)
Giorgio Camerani

@ArtemKaznatcheev: tks เพื่อความเข้าใจความคิดเห็นของคุณ
Xavier Labouze

คำตอบ:


17

สำหรับฉันแล้วหนึ่งในผลที่พื้นฐานที่สุดและน่าประหลาดใจที่สุดของคือการมีตัวพิสูจน์สั้นสำหรับโฮสต์ทั้งหมดของปัญหาที่ยากมากที่จะเห็นว่าทำไมพวกเขาควรมีการพิสูจน์สั้น ๆ (นี่คือการก้าวถอยหลังจาก "การล่มสลายนี้มีความซับซ้อนอื่น ๆ อีกหรือไม่" ถึง "อะไรคือเหตุผลพื้นฐานที่ทำให้เกิดการล่มสลายที่น่าประหลาดใจนี้?"NP=coNP

ตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้นสำหรับกราฟที่ไม่ใช่มิลโตเนียนทุกกราฟจะมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ เกี่ยวกับความจริงนั้น ในทำนองเดียวกันสำหรับกราฟที่ไม่ได้มี 3 สี ในทำนองเดียวกันสำหรับคู่ของกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic ในทำนองเดียวกันสำหรับซ้ำซากประพจน์ใดNP=coNP

ในโลกที่ความยากลำบากในการพิสูจน์ความรู้เชิงแคลคูลัสเชิงประพจน์ไม่ใช่คำพูดสั้น ๆ บางคำที่มีหลักฐานอันยาว - เพราะในโลกนี้ทุก ๆ ด้านการออกเสียงมีหลายแบบ การพิสูจน์สั้น - แต่มีเหตุผลอื่นที่เราไม่สามารถหาหลักฐานเหล่านั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพPNP=coNP


ฉันชอบคำตอบนี้! +1
Tayfun จ่าย

ขอคำตอบจากคุณผลลัพธ์ที่ขีดเส้นใต้นั้นค่อนข้างน่าประหลาดใจ ฉันสงสัยว่าเหตุผลอื่นใดที่ไม่สามารถหาหลักฐานเหล่านั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ ความคิดใด ๆ
Xavier Labouze

12

ถ้าเราสันนิษฐานแล้วสมมติฐานก็จะทำให้การล่มสลายของชั้นเรียนแบบสุ่ม:{} แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะคาดเดาได้ว่าจะยุบลงในโดยไม่มีเงื่อนไขอย่างไรก็ตามมันยังเปิดอยู่ไม่ว่าจะเกิดขึ้นจริง ไม่ว่าในกรณีใดดูเหมือนจะไม่ได้บอกเป็นนัยว่าการเรียนแบบสุ่มเหล่านี้พังทลายลงNP=RPZPP=RP=CoRP=BPPPNP=coNP

หากพวกเขาทำไม่ได้นั่นคืออย่างน้อยเรามี จากนั้นตามด้วย สมมติฐานนี่จะมีความสำคัญอีกอย่างหนึ่ง ผล:{} สิ่งนี้ตามมาจากผลของ Babai, Fortnow, Nisan และ Wigderson ซึ่งบอกว่าถ้าทุกภาษา (tally) ในภาษาตกในแล้ว . ดังนั้นถ้าจากนั้นพวกเขาจะไม่สามารถตกอยู่ในในขณะที่อนุมานว่าBPPPNP=coNPENEPHPBPP=PBPPPPNP=coNPPH=NP. ดังนั้นจะต้องมีภาษาที่นับใน{P} ในที่สุดการปรากฏตัวของภาษานับใน เป็นที่รู้จักกันดีที่จะบ่งบอก{}NPPNPPENE

การใช้เหตุผลข้างต้นแสดงให้เห็นถึงผลที่น่าสนใจที่สมมติฐานแม้จะถูกยุบจริง ๆ แล้วขยายอำนาจการแยกของในขณะที่หลัง อยู่คนเดียวไม่เป็นที่รู้จักที่จะบ่งบอก{} วันนี้ "ความผิดปกติ" ดูเหมือนจะสนับสนุนการคาดคะเน{P}NP=coNPBPPPENEBPP=P


1
บางทีฉันอาจจะช้าที่นี่ แต่ NP = coNP บ่งบอกถึง ZPP = RP = coRP = BPP ได้อย่างไร
Joshua Grochow

@JoshuaGrochow ฉันก็ติดอยู่ที่นั่นเช่นกัน
Tayfun จ่าย

ขอบคุณฉันพลาดเงื่อนไขจริงๆ ฉันแก้ไขคำตอบ
Andras Farago

@AndrasFarago โอเค! +1 :)
Tayfun จ่าย

@AndrasFarago Tks สำหรับคำตอบของคุณ!
Xavier Labouze

7

มีสองคำจำกัดความสำหรับการเรียนการนับเกินเป็น#P} หนึ่งถูกกำหนดโดย Valiant และอีกหนึ่งถูกกำหนดโดย Toda#P

ValiantsDefinition:_สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามโดยที่หมายถึงฟังก์ชั่นการนับเส้นทางการยอมรับของ nondeterministic เครื่องจักรทัวริงพหุนามเวลามี's oracle ของพวกเขาC#C=AC(#P)A(#PA)A

โดยคำจำกัดความของ Valiant เรามี#NP=#CoNP

TodasDefinition:_สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามให้เป็นคลาสของฟังก์ชันเช่นนั้นสำหรับคำนวณค่าได้สองอาร์กิวเมนต์และพหุนามสำหรับสตริงทุกตัวมันถือว่า:และ.C#.CfCRpxf(x)=||{y|p(|x|)=|y|R(x,y)}||

โดยคำจำกัดความของโทดะเรามีถ้าหากเท่านั้นN P = C o N P#.NP=#.CoNPNP=CoNP

แล้วถ้าเรายังคิดว่าแล้วเราจะมีP}F P# PPNPFP#P


มันเป็นรุ่นนับของ NP
Tayfun จ่าย

ระยะเวลาหมายถึงอะไรใน "# .NP"
Timothy Sun

4
มีสองประเภทหากกำหนดลำดับชั้นการนับ หนึ่งโดย Valiant ในปี 1979 และเขาใช้สัญลักษณ์ #P, # NP, # Co-NP ... โดยที่ # NP = Co-NP ในทางตรงกันข้าม Toda กำหนดลำดับชั้นที่แตกต่างกัน และสัญกรณ์ที่ใช้จุด และ # .NP! = #. Co-NP ยกเว้น NP = Co-NP
Tayfun จ่าย

2

Ker-i Ko แสดงให้เห็นว่ามี oracle ที่ทำให้ค่า PH ลดลงในระดับ k-th ดู "Ker-I Ko: Relativized ลำดับเวลาพหุนามที่มีระดับ K แน่นอน SIAM J. Comput 18 (2): 392-408 (1989)"


คุณสามารถลิงค์เราเข้ากับกระดาษได้ไหม
Tayfun จ่าย

@ BinFu Tks - ฉันคิดว่า PH ทรุดตัวลงสู่ระดับแรก ...
Xavier Labouze

1
สำหรับกรณี k = 1 เป็นกรณีของปัญหานี้ เวลาพหุนามจะยุบเป็น NP ภายใต้เงื่อนไข NP = coNP การดำรงอยู่ของ oracle สำหรับระดับ k-th ในกระดาษของ Ko หมายถึงอุปสรรคของวิธีการที่สัมพันธ์กันเพื่อจัดการกับปัญหาการล่มสลายของ PH
Bin Fu

1
@BinFu: ข้อสังเกตของคุณไม่ได้อธิบายถึงผลกระทบของการใด ๆPNP = coNP คำถามที่ไม่ได้เป็นวิธีการที่จะแสดงให้เห็นการล่มสลายไปในระดับแรกหรือเกี่ยวกับผลซึ่งยังอธิบายถึงการล่มสลายไปในระดับแรก แต่สิ่งที่จะเป็นที่รู้จักควันหลงของการล่มสลายไปในระดับแรก ฉันไม่เห็นว่าคำตอบของคุณเป็นอย่างไร
Niel de Beaudrap

1
สูตรบูลีนที่น่าพอใจทุกตัวมีพหุนามและเวลาพิสูจน์ความยาวซึ่งเป็นความจริงที่ได้รับมอบหมายให้ทำให้สูตรเป็นจริง เงื่อนไข NP = coNP ทำให้สูตรบูลีนที่ไม่น่าพอใจทุกตัวมีเวลาพหุนามและการพิสูจน์ความยาว ถ้า P ไม่เท่ากับ NP และ NP = coNP ดังนั้นไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามในการค้นหาการพิสูจน์ความยาวพหุนามสำหรับสูตรบูลีนเพื่อความพึงพอใจหรือไม่น่าพอใจ ในทำนองเดียวกันเราจะมีข้อสรุปที่คล้ายกันสำหรับปัญหาทั้งหมดใน NP
Bin Fu
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.