เรารู้ว่าถ้าดังนั้นค่า PH ทั้งหมดจะลดลง เกิดอะไรขึ้นถ้าลำดับชั้นพหุนามยุบลงบางส่วน? (หรือวิธีการที่จะเข้าใจว่า PH อาจถล่มเหนือจุดที่แน่นอนและไม่อยู่ด้านล่าง)
กล่าวโดยย่อคืออะไรผลที่ตามมาของและคืออะไร?P ≠ N P
เรารู้ว่าถ้าดังนั้นค่า PH ทั้งหมดจะลดลง เกิดอะไรขึ้นถ้าลำดับชั้นพหุนามยุบลงบางส่วน? (หรือวิธีการที่จะเข้าใจว่า PH อาจถล่มเหนือจุดที่แน่นอนและไม่อยู่ด้านล่าง)
กล่าวโดยย่อคืออะไรผลที่ตามมาของและคืออะไร?P ≠ N P
คำตอบ:
สำหรับฉันแล้วหนึ่งในผลที่พื้นฐานที่สุดและน่าประหลาดใจที่สุดของคือการมีตัวพิสูจน์สั้นสำหรับโฮสต์ทั้งหมดของปัญหาที่ยากมากที่จะเห็นว่าทำไมพวกเขาควรมีการพิสูจน์สั้น ๆ (นี่คือการก้าวถอยหลังจาก "การล่มสลายนี้มีความซับซ้อนอื่น ๆ อีกหรือไม่" ถึง "อะไรคือเหตุผลพื้นฐานที่ทำให้เกิดการล่มสลายที่น่าประหลาดใจนี้?"
ตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้นสำหรับกราฟที่ไม่ใช่มิลโตเนียนทุกกราฟจะมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ เกี่ยวกับความจริงนั้น ในทำนองเดียวกันสำหรับกราฟที่ไม่ได้มี 3 สี ในทำนองเดียวกันสำหรับคู่ของกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic ในทำนองเดียวกันสำหรับซ้ำซากประพจน์ใด ๆ
ในโลกที่ความยากลำบากในการพิสูจน์ความรู้เชิงแคลคูลัสเชิงประพจน์ไม่ใช่คำพูดสั้น ๆ บางคำที่มีหลักฐานอันยาว - เพราะในโลกนี้ทุก ๆ ด้านการออกเสียงมีหลายแบบ การพิสูจน์สั้น - แต่มีเหตุผลอื่นที่เราไม่สามารถหาหลักฐานเหล่านั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ
ถ้าเราสันนิษฐานแล้วสมมติฐานก็จะทำให้การล่มสลายของชั้นเรียนแบบสุ่ม:{} แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะคาดเดาได้ว่าจะยุบลงในโดยไม่มีเงื่อนไขอย่างไรก็ตามมันยังเปิดอยู่ไม่ว่าจะเกิดขึ้นจริง ไม่ว่าในกรณีใดดูเหมือนจะไม่ได้บอกเป็นนัยว่าการเรียนแบบสุ่มเหล่านี้พังทลายลง
หากพวกเขาทำไม่ได้นั่นคืออย่างน้อยเรามี จากนั้นตามด้วย สมมติฐานนี่จะมีความสำคัญอีกอย่างหนึ่ง ผล:{} สิ่งนี้ตามมาจากผลของ Babai, Fortnow, Nisan และ Wigderson ซึ่งบอกว่าถ้าทุกภาษา (tally) ในภาษาตกในแล้ว . ดังนั้นถ้าจากนั้นพวกเขาจะไม่สามารถตกอยู่ในในขณะที่อนุมานว่า. ดังนั้นจะต้องมีภาษาที่นับใน{P} ในที่สุดการปรากฏตัวของภาษานับใน เป็นที่รู้จักกันดีที่จะบ่งบอก{}
การใช้เหตุผลข้างต้นแสดงให้เห็นถึงผลที่น่าสนใจที่สมมติฐานแม้จะถูกยุบจริง ๆ แล้วขยายอำนาจการแยกของในขณะที่หลัง อยู่คนเดียวไม่เป็นที่รู้จักที่จะบ่งบอก{} วันนี้ "ความผิดปกติ" ดูเหมือนจะสนับสนุนการคาดคะเน{P}
มีสองคำจำกัดความสำหรับการเรียนการนับเกินเป็น#P} หนึ่งถูกกำหนดโดย Valiant และอีกหนึ่งถูกกำหนดโดย Toda
สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามโดยที่หมายถึงฟังก์ชั่นการนับเส้นทางการยอมรับของ nondeterministic เครื่องจักรทัวริงพหุนามเวลามี's oracle ของพวกเขา
โดยคำจำกัดความของ Valiant เรามี
สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามให้เป็นคลาสของฟังก์ชันเช่นนั้นสำหรับคำนวณค่าได้สองอาร์กิวเมนต์และพหุนามสำหรับสตริงทุกตัวมันถือว่า:และ.
โดยคำจำกัดความของโทดะเรามีถ้าหากเท่านั้นN P = C o N P
แล้วถ้าเรายังคิดว่าแล้วเราจะมีP}F P ≠ # P
Ker-i Ko แสดงให้เห็นว่ามี oracle ที่ทำให้ค่า PH ลดลงในระดับ k-th ดู "Ker-I Ko: Relativized ลำดับเวลาพหุนามที่มีระดับ K แน่นอน SIAM J. Comput 18 (2): 392-408 (1989)"