ผลที่ตามมาของและ ?

เรารู้ว่าถ้าดังนั้นค่า PH ทั้งหมดจะลดลง เกิดอะไรขึ้นถ้าลำดับชั้นพหุนามยุบลงบางส่วน? (หรือวิธีการที่จะเข้าใจว่า PH อาจถล่มเหนือจุดที่แน่นอนและไม่อยู่ด้านล่าง)$P=NP$

กล่าวโดยย่อคืออะไรผลที่ตามมาของและคืออะไร?P ≠ N $NP=coNP$$P\ne NP$

สำหรับฉันแล้วหนึ่งในผลที่พื้นฐานที่สุดและน่าประหลาดใจที่สุดของคือการมีตัวพิสูจน์สั้นสำหรับโฮสต์ทั้งหมดของปัญหาที่ยากมากที่จะเห็นว่าทำไมพวกเขาควรมีการพิสูจน์สั้น ๆ (นี่คือการก้าวถอยหลังจาก "การล่มสลายนี้มีความซับซ้อนอื่น ๆ อีกหรือไม่" ถึง "อะไรคือเหตุผลพื้นฐานที่ทำให้เกิดการล่มสลายที่น่าประหลาดใจนี้?"$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

ตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้นสำหรับกราฟที่ไม่ใช่มิลโตเนียนทุกกราฟจะมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ เกี่ยวกับความจริงนั้น ในทำนองเดียวกันสำหรับกราฟที่ไม่ได้มี 3 สี ในทำนองเดียวกันสำหรับคู่ของกราฟที่ไม่ใช่ isomorphic ในทำนองเดียวกันสำหรับซ้ำซากประพจน์ใด ๆ$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

ในโลกที่ความยากลำบากในการพิสูจน์ความรู้เชิงแคลคูลัสเชิงประพจน์ไม่ใช่คำพูดสั้น ๆ บางคำที่มีหลักฐานอันยาว - เพราะในโลกนี้ทุก ๆ ด้านการออกเสียงมีหลายแบบ การพิสูจน์สั้น - แต่มีเหตุผลอื่นที่เราไม่สามารถหาหลักฐานเหล่านั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

ถ้าเราสันนิษฐานแล้วสมมติฐานก็จะทำให้การล่มสลายของชั้นเรียนแบบสุ่ม:{} แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะคาดเดาได้ว่าจะยุบลงในโดยไม่มีเงื่อนไขอย่างไรก็ตามมันยังเปิดอยู่ไม่ว่าจะเกิดขึ้นจริง ไม่ว่าในกรณีใดดูเหมือนจะไม่ได้บอกเป็นนัยว่าการเรียนแบบสุ่มเหล่านี้พังทลายลง$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

หากพวกเขาทำไม่ได้นั่นคืออย่างน้อยเรามี จากนั้นตามด้วย สมมติฐานนี่จะมีความสำคัญอีกอย่างหนึ่ง ผล:{} สิ่งนี้ตามมาจากผลของ Babai, Fortnow, Nisan และ Wigderson ซึ่งบอกว่าถ้าทุกภาษา (tally) ในภาษาตกในแล้ว . ดังนั้นถ้าจากนั้นพวกเขาจะไม่สามารถตกอยู่ในในขณะที่อนุมานว่า$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$. ดังนั้นจะต้องมีภาษาที่นับใน{P} ในที่สุดการปรากฏตัวของภาษานับใน เป็นที่รู้จักกันดีที่จะบ่งบอก{}$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

การใช้เหตุผลข้างต้นแสดงให้เห็นถึงผลที่น่าสนใจที่สมมติฐานแม้จะถูกยุบจริง ๆ แล้วขยายอำนาจการแยกของในขณะที่หลัง อยู่คนเดียวไม่เป็นที่รู้จักที่จะบ่งบอก{} วันนี้ "ความผิดปกติ" ดูเหมือนจะสนับสนุนการคาดคะเน{P}$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

มีสองคำจำกัดความสำหรับการเรียนการนับเกินเป็น#P} หนึ่งถูกกำหนดโดย Valiant และอีกหนึ่งถูกกำหนดโดย Toda${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามโดยที่หมายถึงฟังก์ชั่นการนับเส้นทางการยอมรับของ nondeterministic เครื่องจักรทัวริงพหุนามเวลามี's oracle ของพวกเขา$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

โดยคำจำกัดความของ Valiant เรามี${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$สำหรับคลาสใด ๆให้นิยามให้เป็นคลาสของฟังก์ชันเช่นนั้นสำหรับคำนวณค่าได้สองอาร์กิวเมนต์และพหุนามสำหรับสตริงทุกตัวมันถือว่า:และ.$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

โดยคำจำกัดความของโทดะเรามีถ้าหากเท่านั้นN P = C o N ${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

แล้วถ้าเรายังคิดว่าแล้วเราจะมีP}F P ≠ # ${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko แสดงให้เห็นว่ามี oracle ที่ทำให้ค่า PH ลดลงในระดับ k-th ดู "Ker-I Ko: Relativized ลำดับเวลาพหุนามที่มีระดับ K แน่นอน SIAM J. Comput 18 (2): 392-408 (1989)"