ให้กราฟตัดสินใจว่าการเชื่อมต่อขอบมีอย่างน้อย n / 2 หรือไม่

บทที่ 1 ของหนังสือ The Probabilistic Method โดย Alon and Spencer กล่าวถึงปัญหาต่อไปนี้:

ให้กราฟตัดสินใจว่าการเชื่อมต่อขอบมีอย่างน้อยหรือไม่ $G$ $n/2$

ผู้เขียนกล่าวถึงการดำรงอยู่ของที่อัลกอริทึมโดย Matula และช่วยเพิ่มความมันให้กับn) $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

คำถามของฉันคืออะไรเวลาที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหานี้คืออะไร?

ให้ฉันอธิบายอัลกอริทึมที่ได้รับการปรับปรุง

ก่อนอื่นตัดสินใจว่ามีระดับขั้นต่ำสุดที่อย่างน้อยหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้นการเชื่อมต่อขอบเป็นอย่างชัดเจนน้อยกว่า 2 $G$ $n/2$ $n/2$

ต่อไปถ้าที่ไม่ได้เป็นกรณีที่แล้วคำนวณครอบครองชุดของขนาดn) สามารถทำได้ในเวลาโดยอัลกอริทึมที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้าของหนังสือ $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

ถัดไปมันใช้สิ่งต่อไปนี้ไม่ยากมากในการพิสูจน์ความจริง:

หากการศึกษาระดับปริญญาขั้นต่ำคือแล้วสำหรับการตัดขอบใด ๆ ของขนาดที่มากที่สุดที่แบ่งเข้าและใด ๆ ชุดครอบครองของต้องมีจุดทั้งในและV_2 $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

ตอนนี้พิจารณาชุดที่มีอำนาจเหนือ\} ตั้งแต่มีการศึกษาระดับต่ำสุดใด ๆ ตัดขอบที่มีขนาดน้อยกว่ายังต้องแยกUดังนั้นสำหรับแต่ละเราพบขนาดของขอบตัดที่เล็กที่สุดที่แยกและu_iแต่ละสิ่งเหล่านี้สามารถทำได้ในเวลาโดยใช้อัลกอริทึมการไหลสูงสุด ดังนั้นเวลาทั้งหมดที่นำมาเป็นn) $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
แหล่งที่มา

Btw แน่นอนว่าการปรับปรุงอัลกอริธึม max-flow จะนำไปสู่การปรับปรุงที่นี่เช่นกัน แต่ฉันเดาเป็นอัลกอริธึม max-flow ที่ดีที่สุดที่รู้จักกันในปัจจุบันหรือไม่?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

บางทีฉันอาจเข้าใจผิดบางอย่าง แต่อัลกอริทึม mincut แบบสุ่มแบบ Karger-Stein ไม่มีเวลาทำงาน ?

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

คือเวลาทำงานคาดหวัง? อัลกอริทึมที่ฉันอธิบายมีการกำหนดอย่างสมบูรณ์

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

อัลกอริธึมคือมอนติคาร์โล: มันจะเสร็จสมบูรณ์ในเวลาและตัดผลลัพธ์ขั้นต่ำพร้อมความน่าจะเป็นสูง ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวขึ้นอยู่กับเวลาในการทำงานแน่นอน ขออภัยที่ได้รับการอ้างอิงของคุณจะ Alon-Spencer ฉันเพียงแค่สันนิษฐานว่าอัลกอริทึมเป็นแบบสุ่ม :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

หากคุณกำลังมองหาอัลกอริทึมที่กำหนดฉันคิดว่าคุณควรระบุสิ่งนั้นในคำถาม ฉันไม่ทราบถึงอัลกอริธึมที่กำหนดได้ดีกว่าสำหรับการตัดขั้นต่ำ (ดู Stoer-Wagner สำหรับอัลกอริทึมที่ง่าย เป็นเรื่องที่น่าสนใจว่าเราจะสามารถกำหนดปัญหาที่คุณระบุได้ดีเพียงใด (8/3 ในเลขชี้กำลังดูเหมือนผิดธรรมชาติสำหรับขอบเขตที่ดีที่สุด แต่ใครจะรู้)

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

คุณสามารถตรวจสอบในเวลานี้เส้นกราฟตั้งแต่มีการเชื่อมต่อขอบอย่างน้อยและถ้าหากการศึกษาระดับปริญญาขั้นต่ำอย่างน้อย 2 คุณได้แย้งกับส่วน "เฉพาะถ้า" พิจารณาตอนนี้กราฟที่แต่ละจุดยอดมีระดับอย่างน้อยและการตัดที่แบ่งกราฟออกเป็นสองจุดสุดยอดชุดและกับ 2 จุดยอดในสามารถมีการเชื่อมต่อได้สูงสุดไปยังจุดยอดอื่น ๆ ในและดังนั้นจึงต้องมีส่วนร่วมอย่างน้อยขอบเพื่อตัด ดังนั้นการตัดจะต้องมีขนาดอย่างน้อย1) มันยังคงแสดงให้เห็นว่า $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ ซึ่งเป็นความจริงตั้งแต่0 $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

น่าประหลาดใจที่การอ้างอิงเดียวที่ฉันพบกับผลลัพธ์นี้คือการประชุมทางชีวสารสนเทศศาสตร์ ฉันอยากรู้อยากเห็นว่ามันได้รับการพิสูจน์แล้วที่อื่น

แก้ไข:การอ้างอิงก่อนหน้านี้คือ: Gary Chartrand: แนวทางกราฟเชิงทฤษฎีสำหรับปัญหาการสื่อสาร SIAM J. Appl คณิตศาสตร์. 14-4 (1966), pp. 778-781

— Falk Hüffner
แหล่งที่มา