ขั้นต่ำสูตร 3-CNF ที่ไม่น่าพอใจ

ขณะนี้ฉันสนใจที่จะได้รับ (หรือสร้าง) และเรียนสูตร 3-CNF ที่ไม่น่าพอใจและมีขนาดเล็กที่สุด กล่าวคือพวกเขาจะต้องประกอบด้วยข้อน้อยที่สุด (m = 8 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) ที่เป็นไปได้และเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันน้อยที่สุด (n = 4 หรือมากกว่า) ที่เป็นไปได้เช่นการลบอย่างน้อยหนึ่งมาตราจะทำให้สูตรที่น่าพอใจ

เป็นทางการมากขึ้นสูตร 3-CNF ที่ผ่านการคัดเลือกใด ๆ จะต้องตรงตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

1. F ไม่น่าพอใจ
2. F มีจำนวนตัวแปรขั้นต่ำ (4+) ที่แตกต่างกัน (หรือปฏิเสธ)
3. F มีจำนวนขั้นต่ำของข้อ (8+)
4. เซตย่อยที่เหมาะสมของ F ทุกตัวเป็นที่น่าพอใจ (อนุญาตให้ลบประโยคหรือคำสั่งใด ๆ โดยพลการ)
5. F ไม่มีข้อ 2 ที่สามารถย่อให้เหลือในข้อ 2-CNF เช่น(i, j, k) & (i, j, ~k)ไม่อนุญาต (ลดลงไป(i,j))

ตัวอย่างเช่นด้วย n = 4 มีสูตรน้อยที่สุด 8 ข้อ 3-CNF ที่ไม่น่าพอใจ สำหรับหนึ่งโดยดูที่ 4-hypercube และพยายามคลุมด้วยขอบ (2 ใบหน้า) เราสามารถสร้างสูตรที่ไม่น่าพอใจดังต่อไปนี้:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

สิ่งนี้มีคุณสมบัติเป็นสูตร 3-CNF ขั้นต่ำที่ไม่น่าพอใจเนื่องจาก:

1. มันไม่น่าพอใจ:

   • ข้อ 1-3 เท่ากับ: D or A=B=C
   • ข้อ 4-6 เทียบเท่ากับ: ~D or A=B=C
   • พวกเขาบอกเป็นนัยA=B=Cแต่ตามข้อ 7 และ 8 นี่เป็นข้อขัดแย้ง

2. มีตัวแปรที่แตกต่างกันเพียง 4 ตัวเท่านั้น

3. มีเพียง 8 ข้อ
4. การลบประโยคใด ๆ ทำให้มันเป็นที่น่าพอใจ
5. ไม่มีข้อ 2 ที่ 'ย่อ' เป็นประโยค 2-CNF

ดังนั้นฉันเดาคำถามโดยรวมที่นี่ตามลำดับความสำคัญกับฉัน:

1. สูตรขั้นต่ำขนาดเล็กอื่น ๆ อีกบ้างที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้นคืออะไร? (เช่นการพูดตัวแปร 4,5,6 และ 8,9,10 ข้อ)

2. มีฐานข้อมูลหรือ "แอตลาส" ของสูตรขั้นต่ำเช่นนั้นหรือไม่?

3. มีอัลกอริทึมที่ไม่ใช่แบบสุ่มใด ๆ สำหรับการสร้างโดยสมบูรณ์

4. มีข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับคุณลักษณะของ formulae เหล่านี้อย่างไรบ้าง พวกเขาสามารถนับหรือประมาณ, รับ n (# ตัวแปร) และ m (# clauses)?

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบของคุณ ฉันยินดีตอบหรือแสดงความคิดเห็นใด ๆ

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$$2$

$\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

$n=5$$m=9$

$l_1 \lor l_2 \lor l_3$$2$

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$$n$$m$$1$$r=\frac{m}{n}$$1$$n$$r=1$

ฉันเชื่อว่าเงื่อนไขหมายเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างของคุณและไม่สามารถจัดขึ้นได้
ให้อนุประโยคต่อไปนี้เทียบเท่ากัน

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

ซึ่งจะทำให้เราสามารถแมปคำสั่งของ A, B, C และ D กับตัวแปรใหม่ p, q, r และ s เป็นตารางความจริงต่อไปนี้:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

และตอนนี้เราสามารถแสดงประโยคของ A, B, C และ D ในรูปของ p, q, r และ s:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

เนื่องจากส่วนคำสั่งทั้งหมดแสดงขึ้นและเชื่อมโยงกับส่วนคำสั่ง A, B, C และ D จากนั้นเราสามารถอ้างได้ว่าคำสั่ง p, q, r และ s สามารถลดลงเป็น:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าละเมิดเงื่อนไขหมายเลข 5

สิ่งที่ฉันต้องการชี้ให้เห็นคือแม้ตัวอย่างจะไม่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ามี 2 อนุประโยคที่สามารถลดเป็น 2-CNF ได้ แต่โดยปริยายก็มี (เช่น (~ A, B, D) และ (A, ~ B, ~ D)) คุณอาจไม่สามารถแสดง 2-CNF ด้วยตัวแปรที่กำหนด แต่เมื่อคุณแนะนำการแมปที่แตกต่างกันสำหรับปัญหาคุณจะสามารถแสดงได้