ความซับซ้อนของการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบแยก?

อะไรคือความซับซ้อน (บน RAM จำนวนเต็มมาตรฐาน) ของการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบแยกแบบไม่ต่อเนื่องของเวกเตอร์จำนวนจำนวนเต็ม?$n$

คลาสสิกอัลกอริทึมสำหรับการแปลงฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็ว , ไม่เหมาะสม^[1]ประกอบกับคูลลีย์และทูกีมักจะอธิบายว่าเป็นทำงานในเวลา แต่ที่สำคัญที่สุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดำเนินการในขั้นตอนวิธีนี้เริ่มต้นด้วยการที่ซับซ้อนn th รากของความสามัคคีซึ่งเป็น (ส่วนใหญ่n ) เหตุผลการประเมินผลที่แน่นอนดังนั้นในเวลาคงไม่สมเหตุสมผล ปัญหาเดียวกันเกิดขึ้นกับอัลกอริธึมไร้เดียงสาO ( n 2 ) - (คูณด้วยเมทริกซ์ Vandermonde ของรากที่ซับซ้อนของความสามัคคี)$O(n \log n)$$n$$n$$O(n^2)$

ยังไม่ชัดเจนว่าจะแสดงผลลัพธ์ของ DFT ได้อย่างไร (ในรูปแบบที่มีประโยชน์ใด ๆ ) กล่าวอีกอย่างหนึ่งก็ไม่ชัดเจนว่าการคำนวณ DFT นั้นเป็นไปได้จริง ๆ !

สมมติว่าเราต้องการเพียงความแม่นยำบิตในแต่ละค่าผลลัพธ์ ความซับซ้อนของการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบแยกเป็นฟังก์ชันของnและbคืออะไร? (เพื่อความเป็นรูปธรรมรู้สึกอิสระที่จะสมมติว่าnคือพลังของ2 )$b$$n$$b$$n$$2$

หรือทุกตัวอย่างของ "FFT" ในวรรณคดีจริง ๆ แล้วหมายถึง " การแปลงตัวเลขเชิงทฤษฎีเร็ว" หรือไม่? ^[2]

ดูคำถามที่เกี่ยวข้องของฉันเกี่ยวกับความซับซ้อนของGaussian กำจัดและยุคลิดเส้นทางที่สั้นที่สุด

_{^[1]มันควรจะเรียกว่า (คำนำหน้าบางส่วน) อัลกอริทึม Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey}

_{^[2]และถ้าเป็นเช่นนั้นทำไมหนังสือเรียนส่วนใหญ่จึงอธิบายเฉพาะอัลกอริธึมจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น?}

คำตอบนี้เป็นตัวแปรของการวิเคราะห์อัลกอริทึมแรก ("Methode A") โดยSchönhageและ Strassen สำหรับการคูณจำนวนเต็มแบบยาว

สมมติว่าเราต้องการที่จะคำนวณความยาวของ FFT k ปรับขนาดการป้อนข้อมูลของคุณโดยที่ค่าทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า 1 ก่อนอื่นให้เราสมมติว่าเราคำนวณด้วยเลขคณิตจุดคงที่m -bit ( บิตmหลังจุดไบนารี่) ให้δ = 2 1 / 2 - ม.เป็น ( "ซับซ้อน") หน่วยของตำแหน่งอย่างน้อย ให้ω = ประสบการณ์( 2 π ฉัน/ K )$K = 2^k$$m$$m$$\delta = 2^{1/2 -m}$$\omega = \exp(2\pi i/K)$

$\omega_j'$$|\omega_j' - \omega^j| \le (2k-1)\delta$$0 \le j \le K-1$$O(K M(m))$$M(m)$$m$

$M(m) = O(m \log m)$$M(m) = O(m)$$m$$m$$O(\log m)$

$a = b + \omega^j c$$m$$a' = truncate(b' + \omega_j' c')$$b'$$c'$$\epsilon$$a'$$2\epsilon + 2k\delta$

$(2^k - 1) \cdot 2k\delta$$b$$m \ge k + \log k + b + O(1)$

$O(K k M(k+b))$

สิ่งนี้ควรทำงานกับหมายเลขทศนิยม: 1) สามารถทำได้ด้วยเลขคณิตจุดคงที่ 2) ก็เป็นจริงสำหรับตัวเลขทศนิยม

$O(k + b)$$O(k+b)$$O(K(k+b))$

นี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่ฉันสามารถชี้ให้คุณดูเอกสารที่เกี่ยวข้องบางส่วนและอธิบายบางส่วนด้วยว่าทำไมการแยกคำตอบสำหรับคำถามเฉพาะของคุณออกจากวรรณคดีนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

ให้ฉันเริ่มต้นด้วยการถามทำไมคุณต้องการที่จะรู้คำตอบสำหรับคำถามนี้ โดยทั่วไปแล้วผู้ที่พบว่าตนเองสนใจเกี่ยวกับปัญหาประเภทนี้คือผู้ที่ต้องเผชิญกับการใช้ FFT ที่มีประสิทธิภาพสูงสำหรับการใช้งานจริง คนแบบนี้ใส่ใจความซับซ้อนเชิงซีมโทติคในรูปแบบการคำนวณในอุดมคติบางอย่างมากกว่าการเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุดภายใต้ข้อ จำกัด ด้านฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ ตัวอย่างเช่นนักพัฒนาของการแปลงฟูริเยร์ที่เร็วที่สุดในตะวันตกเขียนไว้ในกระดาษ:

ตัวเลือกที่ดีที่สุดขึ้นอยู่กับรายละเอียดฮาร์ดแวร์เช่นจำนวนการลงทะเบียนเวลาในการตอบสนองและปริมาณงานขนาดและความสัมพันธ์ของแคชโครงสร้างของไพพ์ไลน์โปรเซสเซอร์ ฯลฯ

นี่เป็นประเด็นที่นักทฤษฎีโดยทั่วไปไม่ต้องการเอาเปรียบ แต่พวกเขาก็มีความสำคัญอย่างยิ่งในการใช้งานจริง ถ้านักทฤษฎีบอกว่า "ฉันเข้าใจความซับซ้อนบิตซีมโทติคที่ดีที่สุดในหน่วยความจำ RAM" ผู้ประกอบการอาจพูดว่า "ดี" แต่อาจพบว่าผลลัพธ์ทางทฤษฎีไม่มีประโยชน์สำหรับจุดประสงค์ของเขาหรือเธอ

ต้องบอกว่าฉันคิดว่าทางออกที่ดีที่สุดของคุณคือการดูวรรณคดีวิเคราะห์เชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่นTasche และ Zeunerได้ศึกษาความเสถียรเชิงตัวเลขของอัลกอริทึม FFT สิ่งนี้อาจยังไม่ตรงตามที่คุณต้องการเพราะความเห็นพ้องทั่วไปในหมู่ผู้ปฏิบัติงานนั้นเป็นไปได้ว่าเพื่อให้ได้ความแม่นยำเชิงตัวเลขจำนวนหนึ่งวิธีการปฏิบัติที่ดีที่สุดคือการคำนวณตัวเลขที่เรียกว่า หากคุณกำลังทำเพียงFFT เดียวนี่จะไม่ใช่วิธีที่เร็วที่สุดเพราะคุณไม่ต้องตัดค่าใช้จ่ายในการคำนวณค่าใช้จ่ายล่วงหน้าครั้งเดียวของคุณด้วยการคำนวณ FFT จำนวนมาก แต่ถึงกระนั้นการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดในการปัดเศษของกรณีที่แย่ที่สุดก็ควรจะเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ