คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ที่ไหนและอย่างไร

วัตถุประสงค์ของคำถามนี้คือการรวบรวมตัวอย่างจากวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่การใช้คอมพิวเตอร์อย่างเป็นระบบมีประโยชน์

1. ในการสร้างการคาดเดาที่นำไปสู่ทฤษฎีบท
2. การปลอมแปลงการคาดเดาหรือวิธีการพิสูจน์
3. การสร้าง / ตรวจสอบ (ส่วนของ) การพิสูจน์

หากคุณมีตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงโปรดอธิบายวิธีการทำ บางทีสิ่งนี้จะช่วยให้ผู้อื่นใช้คอมพิวเตอร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นในการวิจัยประจำวันของพวกเขา

(ถูกตั้งค่าสถานะเป็นวิกิชุมชนเนื่องจากไม่มีคำตอบ "ถูกต้อง" เดียว)

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีคือทฤษฎีบทสี่สีซึ่ง แต่เดิมพิสูจน์แล้วโดยการตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วน

แก้ไข$n$จุดในระนาบ ให้ T เป็นรูปสามเหลี่ยม (เช่นกราฟเส้นตรงระนาบที่มีจุดเป็นจุดยอดที่มีการจัดตำแหน่งอย่างสมบูรณ์) และให้น้ำหนักของรูปสามเหลี่ยมเป็นผลรวมของความยาวขอบ

แสดงให้เห็นว่าปัญหาการหาน้ำหนักอย่างต่ำสุด (MWT) คือปัญหา NP-hard เป็นปัญหาเปิดที่ยาวนานซึ่งทำได้ยากเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าความยาวของขอบเกี่ยวข้องกับรากที่สองและความแม่นยำที่ต้องการในการคำนวณสิ่งเหล่านี้ถูกต้อง

Mulzer และ Rote พบว่า MWT เป็น NP-hardและในกระบวนการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการตรวจสอบความถูกต้องของแกดเจ็ตของพวกเขา เท่าที่ฉันรู้ไม่มีหลักฐานอื่น

การพิสูจน์โทมัสเฮลส์ (เว็บไซต์MathSciNetของเขา) ของการคาดคะเนของเคปเลอร์นั้นเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์เคสมาก - และคดีก็ถูกตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์ - ว่าเขาตัดสินใจลองพิสูจน์อย่างเป็นทางการของมัน โครงการของเขาคือFlysPecKและเขาคาดว่าจะใช้เวลา 20 ปีในการทำงาน

นักวิจัยในการเขียนโปรแกรมภาษาใช้การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการทำงานของพวกเขาถึงแม้ว่าฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้มีความสำคัญเพียงใดในแง่ของกระบวนการวิจัยของพวกเขา (มันทำให้พวกเขาไม่ต้องเขียนการจัดการที่น่าเบื่อมากมาย)

Doron Zeilberger ทำงานในด้านการพิสูจน์ที่สร้างโดยคอมพิวเตอร์ ที่สะดุดตาที่สุดเขาได้จัดทำโปรแกรมเมเปิ้ลที่จะพิสูจน์อัตลักษณ์ทางเรขาคณิตและโปรแกรมอื่นเพื่อพิสูจน์ระดับของตัวตน combinatorial บางส่วนของวิธีการที่จะกล่าวถึงในหนังสือA = B

คอมพิวเตอร์ยังถูกใช้เพื่อกำหนดขอบเขตบนของโปรแกรม backtracking ที่ใช้ในการแก้ปัญหา NP-hard และสร้างแกดเจ็ตเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้ หัวข้อนี้และหัวข้ออื่น ๆ ที่เต็มไปด้วยความสนุกสนานรอคุณอยู่ในบทความสั้น ๆ(คำเตือนการเลื่อนขั้นเลื่อนตำแหน่งตัวเองไปข้างหน้า)เรื่อง "การประยุกต์ใช้กับทฤษฎี" ดูhttp://arxiv.org/abs/0811.1305

รับรายการที่ดีนี้ดูเหมือนว่าฉันควรปรับปรุงกระดาษ!

ตัวอย่างจากการคาดเดาของ Hirschซึ่งมีความสำคัญต่อการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและการผสมผสานเชิงซ้อนได้ถูกเสนอโดย Francisco Santos เมื่อไม่นานมานี้ การตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ถูกใช้ก่อนเพื่อสร้างคุณสมบัติบางอย่างที่ต้องการของตัวอย่างแม้ว่าจะมีการค้นพบข้อโต้แย้งที่ไม่ได้รับความช่วยเหลือจากพลังการคำนวณ แต่ cf โพสต์บล็อกของกิลคาไลหรือกระดาษใน arXiv

ยังไม่เห็นสิ่งที่กล่าวถึงที่นี่ แต่นักทฤษฎีบทอัตโนมัติแก้ปัญหาที่เปิดกว้างมายาวนานว่าราชิดของร็อบบินส์นั้นเป็นบูลีนหรือไม่:

http://www.cs.unm.edu/~mccune/papers/robbins/

สิ่งนี้มีความโดดเด่นเป็นพิเศษเนื่องจากคอมพิวเตอร์ได้พัฒนาหลักฐานทั้งหมดและปัญหาได้เปิดมานานหลายทศวรรษ

ไม่แน่ใจว่ามีคุณสมบัติเป็น TCS หรือไม่ แต่ก็มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

อัลกอริทึม Karloff-ซวิคสำหรับ MAX-3SAT ประสบความสำเร็จในประสิทธิภาพที่คาดหวัง 7/8 อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันของปริมาณทรงกลมที่ไม่ผ่านการพิสูจน์ ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการยืนยันในที่สุดก็ผ่านคอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ในซวิคของกระดาษอีก

นอกจากหลักฐาน Hales' เพื่อคาดเดาเคปเลอร์ดังกล่าวข้างต้นหลักฐานที่จะคาดเดารังผึ้งและหนึ่งไปคาดเดาสิบสองจะมีการใช้คอมพิวเตอร์ช่วยเช่นกัน

คุณสามารถตรวจสอบ Shalosh บี Ekhad ของหน้าแรก คอมพิวเตอร์เครื่องนี้ได้รับการเผยแพร่เอกสารในขณะที่ (มักจะมี coauthors)

Christian Urban ใช้ผู้ช่วยพิสูจน์อิสซาเบลเพื่อตรวจสอบหนึ่งในทฤษฎีบทหลักในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาว่าเป็นทฤษฎีบท [1] การใช้ผู้ช่วยจำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย แต่ผลลัพธ์ก็ออกมาดีขึ้น

ในทำนองเดียวกัน Urban และ Narboux ยังค้นพบข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ปากกาและกระดาษของการพิสูจน์ความสมบูรณ์ของ Crary สำหรับการตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

Meikle และ Fleuriot จัดทำ Grundlagen ของ Hilbert อย่างเป็นทางการใน Isabelle และแสดงให้เห็นว่าตรงกันข้ามกับคำกล่าวอ้างของ Hilbert เขายังคงพึ่งพาสัญชาตญาณของเขาในการทำรูปทรงเรขาคณิตให้เป็นจริง (IIRC มีรูในหลักฐานของเขาที่ได้มาจาก Hilbert .

[1]: Revisiting Cut-Elimination: การพิสูจน์ที่ยากหนึ่งครั้งเป็นจริงการพิสูจน์

[2]: การทำให้เป็นระเบียบในการพิสูจน์ความครบถ้วนสมบูรณ์ของ Isabelle Crary สำหรับการตรวจสอบความเท่าเทียมกัน

[3]: จัดระเบียบ Grundlagen ของ Hilbert ใน Isabelle / Isar

ผลลัพธ์ใน " เรขาคณิตของต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค " โดย Demaine, Harmon, Iacono, Kane และPatraşcuได้รับการพัฒนาด้วยความช่วยเหลือของซอฟต์แวร์ในการทดสอบรูปแบบการชาร์จต่างๆและสร้างลาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับลำดับการเข้าถึงขนาดเล็ก (และใช่ "ลา" เป็นคำที่ถูกต้อง)

N. Shankar ตรวจสอบ (อย่างเต็มที่และโดยกลไก) พิสูจน์ Godel ของทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์และโบสถ์ - ทฤษฎี Rosser โดยใช้ Boyer - Moore ทฤษฎีบทพิสูจน์ มีหนังสืออธิบายวิธีการทำ

สูตรสำหรับอัลกอรึทึมของBailey-Borwein-Plouffeเพื่อคำนวณบิตที่ n ของ Pi โดยไม่ต้องคำนวณบิตที่มีนัยสำคัญใด ๆ ที่ถูกค้นพบมากขึ้นอ้างอิงจาก Simon Plouffeโดยใช้ระบบพิสูจน์คอมพิวเตอร์

มีตัวอย่างมากมายในการวิเคราะห์อัลกอริทึมโดยเฉลี่ย บางทีสิ่งที่เร็วที่สุดคือการทดลองทางคอมพิวเตอร์ซึ่งนำไปสู่บทความ "บางคนคาดหวังผลพฤติกรรมที่ไม่คาดคิดสำหรับการบรรจุขยะ" โดย Bentley, Johnson, Leighton, McGeoch และ McGeoch ใน STOC 1984