การนับคำที่ไวยากรณ์ทั่วไปยอมรับ

เมื่อพิจารณาจากภาษาปกติ (NFA, DFA, ไวยากรณ์หรือ regex) จะนับจำนวนคำที่ยอมรับในภาษาที่กำหนดได้อย่างไร ทั้ง "ด้วยตัวอักษร n ทั้งหมด" และ "ที่มีตัวอักษรไม่เกิน n ตัว" เป็นสิ่งที่น่าสนใจ

Margareta Ackermanมีบทความสองเรื่องเกี่ยวกับการแจกแจงคำที่ NFA ยอมรับ แต่ฉันไม่สามารถแก้ไขให้นับได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ดูเหมือนว่าธรรมชาติของภาษาปกติที่ จำกัด ควรทำให้นับได้ง่าย - ฉันเกือบจะคาดหวังว่าสูตรมากกว่าอัลกอริทึม แต่การค้นหาของฉันจนถึงตอนนี้ยังไม่ปรากฏอะไรเลยดังนั้นฉันต้องใช้คำที่ไม่ถูกต้อง

สำหรับ DFA ซึ่งสถานะเริ่มต้นคือสถานะจำนวนคำของความยาวที่ลงท้ายด้วยสถานะคือโดยที่คือเมทริกซ์การถ่ายโอนของ DFA (เมทริกซ์ที่ หมายเลขในแถวและคอลัมน์คือจำนวนสัญลักษณ์อินพุตที่แตกต่างกันที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนสถานะจากเป็นสถานะ ) ดังนั้นคุณสามารถนับการยอมรับคำที่มีความยาวได้อย่างแน่นอนได้อย่างง่ายดายแม้เมื่อมีขนาดใหญ่พอสมควรเพียงแค่คำนวณพลังงานเมทริกซ์และเพิ่มรายการที่สอดคล้องกับการยอมรับสถานะ$0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$

สิ่งเดียวกันทำงานเพื่อยอมรับคำที่มีความยาวไม่เกินโดยมีเมทริกซ์ต่างกันเล็กน้อย เพิ่มแถวและคอลัมน์พิเศษของเมทริกซ์โดยที่มีหนึ่งในเซลล์ที่อยู่ในแถวและคอลัมน์หนึ่งแถวในแถวใหม่และคอลัมน์ของสถานะเริ่มต้นและศูนย์ในเซลล์อื่น ๆ ทั้งหมด ผลของการเปลี่ยนแปลงกับเมทริกซ์นี้คือการเพิ่มพา ธ ไปยังสถานะเริ่มต้นที่แต่ละพาวเวอร์$k$

สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับ NFA ฉันสงสัยว่าสิ่งที่ดีที่สุดที่ต้องทำคือเพียงแปลงเป็น DFA แล้วใช้อัลกอริทึมเปิดเครื่องเมทริกซ์

ให้เป็นระบบอัตโนมัติแบบ จำกัด (nondeterministic) ด้วยสถานะเริ่มต้น ,และQ$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

ให้ฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับทุกคำที่สามารถยอมรับได้เริ่มต้นในนั่นคือสัมประสิทธิ์ที่ของการขยายตัวของซีรีส์.$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

เห็นได้ชัดว่า:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

แก้ระบบสมการที่เกิดขึ้น (เชิงเส้น) สำหรับ (โดยใช้ Mathematica หรือเครื่องมือที่คล้ายกัน) จากนั้นคือปริมาณที่ต้องการ$Q_1$$[z^n]Q_1$

นี่กลับไปเป็นเทคนิคที่แนะนำสำหรับไวยากรณ์โดย Chomsky และSchützenberger (1963); มันถ่ายโอนไปยังออโต จำกัด ได้อย่างง่ายดาย

แก้ไข:หากคุณต้องการบัญชีสำหรับ -transitions เพียงแค่ปล่อยแฟคเตอร์ในผลรวมสำหรับการเปลี่ยนที่สอดคล้องกัน Similiarly ถ้าคุณได้ "บีบอัด" ขอบเช่นแทนสัญลักษณ์คำในการเปลี่ยนแปลงแทนที่กับ k$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

ฉันคิดว่านี่เป็นปัญหาการนับที่ยากดูที่เอกสารนี้: การนับขนาดของลำดับปกติของความยาวที่กำหนดคือ # P-complete: S. Kannan, Z. Sweedyk และ SR Mahaney การนับและการสร้างสตริงแบบสุ่มในภาษาปกติ ใน ACM-SIAM Symposium บนอัลกอริธึมแบบไม่ต่อเนื่อง (SODA), หน้า 551–557, 1995

ต่อไปนี้: CMTVพิจารณาความซับซ้อนของคลาสซึ่ง (โดยทั่วไป แต่ในการตั้งค่าทั่วไป) ระดับของฟังก์ชั่นการนับจำนวนการยอมรับการคำนวณของหุ่นยนต์ จำกัด nondeterministic บนอินพุตคำของ ความยาวที่แน่นอน ผลมากเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เกี่ยวกับเรื่องนี้รวมถึงการบรรจุระดับความซับซ้อนใน logspace กำหนดขึ้นเป็นผลมาจากCDL ขอให้สังเกตว่ามีการแก้ไขอัตโนมัติในการตั้งค่านี้และคำอินพุตเป็นอินพุตเท่านั้น$\#\mathsf{NC}^1$