การเข้ารหัสด่วนของเวกเตอร์ที่สมดุล

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับการใด ๆมีอยู่ 1-1 ทำแผนที่จาก {0,1}เป็น {0,1}ดังกล่าวว่าสำหรับการใด ๆเวกเตอร์คือ "สมดุล" คือมีจำนวนเท่ากับ 1 และ 0 เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดเช่นนี้เพื่อให้เราสามารถคำนวณ อย่างมีประสิทธิภาพ? $n$ $F$ $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

ขอบคุณ

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— Piotr
แหล่งที่มา

ฉันสมมติว่าด้วย 'ประสิทธิภาพ' คุณหมายถึง O (n) หรือราว ๆ นั้นพิจารณาข้อโต้แย้ง "การทดลองแบบสุ่มซ้ำ"

— Suresh Venkat

@Suresh คุณจะสามารถร่างอาร์กิวเมนต์ "การทดลองแบบสุ่มซ้ำ" ได้หรือไม่?

— Emil

วิธีหนึ่งในการพิสูจน์ว่าการทำแผนที่นั้นมีอยู่โดยวิธีการความน่าจะเป็น: เลือก F โดยการสุ่มและจากนั้นการทำแผนที่จะทำงานด้วยความน่าจะเป็นบางอย่าง นั่นคือสิ่งที่ฉันหมายถึง.

— Suresh Venkat

คำถามมีคำจำกัดความอย่างสมบูรณ์ แต่ในความคิดของฉันชื่อเรื่องนั้นทำให้เข้าใจผิด ฉันจะไม่เรียกการแมป F ให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ว่า“ การเข้ารหัสของเวกเตอร์ที่สมดุล” ยกเว้นว่า F เป็น bijective มันเหมือนการเข้ารหัสของสตริง n-bit โดยเวกเตอร์ที่มีความสมดุล

— Tsuyoshi Ito

“ ชัดเจนสมบูรณ์แบบ” ถึงการตีความที่แตกต่างกันของ“ ประสิทธิภาพ” ฉันหมายถึง แต่นี่ไม่ใช่ประเด็นของความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน

— Tsuyoshi Ito

คำตอบ:

ลองพิจารณาบิตสตริงxคำนิยาม: $n$ $x$

= บิตสตริงพร้อมบิตสุดท้ายของ $f(x,i)$ $x$ $i$
= "ไม่สมดุล" ของ : จำนวน 1s ในจำนวน 0s ในx $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

ตอนนี้แก้ไขสตริงxพิจารณาฟังก์ชัน )ข้อสังเกต: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

) $g(0) = b(x)$
) $g(n) = -g(0)$
สำหรับฉันเราลบหนึ่ง 0 และเพิ่มหนึ่งหรือในทางกลับกัน $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

ตอนนี้มันตามที่มีอยู่เช่นนั้น 1 $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

ดังนั้นเราสามารถสร้างสตริงบิตดังนี้ concatenate และการเข้ารหัสไบนารีของดัชนีฉันค่าสัมบูรณ์ของความไม่สมดุลของคือ )ยิ่งกว่านั้นเราสามารถกู้คืนให้ได้ ; การทำแผนที่คือ bijection $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

สุดท้ายคุณก็สามารถเพิ่มหุ่นบิตที่ช่วยลดความไม่สมดุลของจากเพื่อ0 $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

b (x) ในบรรทัดที่ 3 ควรเป็น b (y)

— Emil

ฉันคิดว่าคุณอาจต้องเพิ่มอีกบิตในสตริง x เพื่อให้แน่ใจว่ามีความยาวเท่ากัน (เพื่อให้คุณมั่นใจได้ว่า g (i) เป็นศูนย์สำหรับบางคนฉัน)

— Emil

@Emil: ผมไม่ได้เรียกร้องว่า

คือเป็นศูนย์สำหรับบาง

; มันจะเพียงพอที่ค่าสัมบูรณ์ของ

คือ "ค่อนข้างเล็ก" สำหรับบาง

(ที่ลอการิทึมส่วนใหญ่จะเป็นพอ แต่มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่ามันจะเป็นอย่างมากที่สุด

สำหรับบาง

)

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

— Jukka Suomela

@Jukka: อ่าใช่ฉันเห็นแล้ว

— Emil

แต่ใช่คุณพูดถูกมีหลายสายพันธุ์ของวิธีการพื้นฐานเดียวกัน ยกตัวอย่างเช่นตามที่คุณแนะนำคุณสามารถใช้งานครั้งแรกบิต padding เพื่อให้แน่ใจว่า

จะเป็นศูนย์ที่เท่าเทียมกันสำหรับบาง

; จากนั้นคุณสามารถเข้ารหัส

โดยใช้บิตคู่

หรือ

นั่นคือ

บิตพิเศษ จากนั้นผลลัพธ์ของการต่อข้อมูลจะมีความสมดุลอย่างเคร่งครัดและคุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มอะไรอีก

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

— Jukka Suomela

ใช้การแมปที่เก็บรักษาคำสั่งพจนานุกรม เพื่อหาสิ่งที่ -th length- เวกเตอร์สมดุลกับ 1 ทำมันซ้ำถ้า $k$ $n$ $n/2$ จากนั้นตั้งค่าบิตแรก 0 จากนั้นค้นหาเวกเตอร์-th-มี1 เพื่อให้บิตที่เหลือสมบูรณ์ มิฉะนั้นให้ตั้งค่าบิตแรก 1 และค้นหา $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ - ความยาว -เวกเตอร์ที่มี1 $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
แหล่งที่มา

และถ้าคุณใช้ค่าของสัมประสิทธิ์ทวินามอีกครั้งเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ทวินามต่อไปขั้นตอนวิธีทั้งหมดจะทำงานในเวลา O (n)

— Tsuyoshi Ito

ขอบคุณ! มันสมเหตุสมผลแล้ว ฉันเดาว่าเวลาทำงานจะขึ้นอยู่กับแบบจำลองการคำนวณ หากคุณสามารถดำเนินการกับตัวเลข n-bit ในหน่วยเวลาการใช้งานโดย Tsuyoshi Ito จะทำงานในเวลา O (n) ในทางกลับกันถ้าคุณนับการดำเนินการบิตเวลาจะเป็น O (n ^ 2) ฉันคิดว่า

— Piotr