มีการแยกตามธรรมชาติในลำดับชั้นเวลา nondeterministic หรือไม่

ทฤษฎีลำดับขั้นของเวลา Nondeterministic เดิมเกิดจากแม่ครัว (ลิงก์คือ S. Cook, ลำดับชั้นสำหรับความซับซ้อนของเวลา nondeterministic , JCSS 7 343–353, 1973) ทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับจำนวนจริงใด ๆและถ้าดังนั้นNTIME ( ) จะมีอยู่อย่างเคร่งครัดใน NTIME ( )$r_1$$r_2$$1 \le r_1 \lt r_2$$n^{r_1}$$n^{r_2}$

ส่วนหนึ่งที่สำคัญของการพิสูจน์ใช้การทำเครื่องหมายเส้นทแยงมุม (ไม่ระบุ) เพื่อสร้างภาษาที่แยกออกจากองค์ประกอบของชั้นเรียนขนาดเล็ก ไม่เพียง แต่เป็นข้อโต้แย้งที่ไม่สร้างสรรค์เท่านั้น แต่ภาษาที่ได้จากการทแยงมุมมักไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ นอกจากการแยกตัวเอง

ถ้าเราต้องการที่จะเข้าใจโครงสร้างของลำดับชั้นของ NTIME อาจต้องตอบคำถามต่อไปนี้:

มีภาษาธรรมชาติใน NTIME ( ) แต่ไม่ใช่ใน NTIME ( )?$n^{k+1}$$n^k$

ผู้สมัครคนหนึ่งอาจจะเป็นk-ISOLATED SATซึ่งต้องการค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับสูตร CNF โดยไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นภายในระยะทาง Hamming k อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ขอบเขตล่างดูเหมือนว่า มีความยุ่งยากเช่นเคย เป็นที่ชัดเจนว่าการตรวจสอบ Hamming k ลูกมีความชัดเจนของการแก้ปัญหาที่อาจเกิดขึ้น "ควร" ต้องที่ได้รับมอบหมายที่แตกต่างกันมีการตรวจสอบ แต่นี้โดยวิธีการไม่ง่ายที่จะพิสูจน์ (หมายเหตุ: Ryan Williams ชี้ให้เห็นขอบเขตที่ต่ำกว่านี้สำหรับ -ISOLATED SAT จริง ๆ แล้วจะพิสูจน์ P ≠ NP ดังนั้นปัญหานี้ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมสำหรับผู้สมัคร)$\Omega(n^k)$$k$

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ไม่มีเงื่อนไขโดยไม่คำนึงถึงการแยกที่ไม่ได้พิสูจน์เช่น P กับ NP คำตอบที่ยืนยันสำหรับคำถามนี้จะไม่สามารถแก้ไข P vs. NP ได้ยกเว้นว่าจะมีคุณสมบัติเพิ่มเติมเช่น -ISOLATED SAT ด้านบน $k$ การแบ่งแยกตามธรรมชาติของ NTIME อาจช่วยส่องแสงส่วนหนึ่งของพฤติกรรม "ยาก" ของ NP ซึ่งเป็นส่วนที่ได้รับความยากลำบากจากลำดับความแข็งที่เพิ่มขึ้นไม่ จำกัด

เนื่องจากขอบเขตที่ต่ำกว่าเป็นเรื่องยากฉันจะยอมรับเป็นคำตอบในภาษาธรรมชาติซึ่งเราอาจมีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อขอบเขตที่ต่ำกว่าแม้ว่าจะยังไม่มีข้อพิสูจน์ เช่นหากคำถามนี้เกี่ยวกับ DTIME ฉันจะยอมรับ CLIQUE สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ลดเป็นภาษาธรรมชาติที่อาจต้องการ การแยกขึ้นอยู่กับขอบเขตล่างของวงจร Razborov และ Rossman และ -inapproximability ของ CLIQUE$f(k)$$f(x) \in \Theta(x)$$n^{1-\epsilon}$

(แก้ไขเพื่อแก้ไขความคิดเห็นของ Kaveh และคำตอบของ Ryan)

เท่าที่ฉันรู้เราไม่รู้ภาษาดังกล่าวหรือถ้าเรามีความขัดแย้งอย่างมีนัยสำคัญเกี่ยวกับ "ธรรมชาติ" ของพวกเขา ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่คำตอบที่น่าพอใจ แต่ฉันสามารถพูดได้:

(ก) ถ้าคุณพิสูจน์เวลาลดผูกพัน K-แยก SAT สำหรับทุกแล้วคุณได้พิสูจน์ความจริงNP$\Omega(n^k)$$k$$P \neq NP$

(b) วิธีหนึ่งที่คุณอาจหวังว่าจะแสดงว่า k-ISOLATED SAT เป็นหนึ่งในปัญหาธรรมชาติเหล่านี้ในคือการแสดงว่าปัญหา SAT k-ISOLATED นั้นยาก (ในปกติความรู้สึกอย่างเป็นทางการของการมีการลดลงอย่างมีประสิทธิภาพ) สำหรับk] ในความเป็นจริงนี่เป็นวิธีเดียวที่เรารู้วิธีพิสูจน์ผลลัพธ์ดังกล่าว แต่ k-ISOLATED SAT อาจจะไม่ยากในแง่นี้$NTIME[n^{k+1}] - NTIME[n^k]$$NTIME[n^k]$

เหตุผลหลักคือ K-แยกกรณีของ SAT แก้ไขในเป็นอิสระจากkคุณสามารถเดาการกำหนดที่แยกได้จากนั้นยืนยันอย่างเป็นสากล (สำหรับเพื่อพลิกบิตในการกำหนด) ซึ่งไม่มี การมอบหมายงาน "ท้องถิ่น" อื่น ๆ$\Sigma_2 TIME[n]$$k$$O(\log (\sum_{i=1}^k {n \choose i}))$$k$

นี่คือบทพิสูจน์ของส่วน (ก) ให้ ISOLATED SAT เป็นเวอร์ชันของปัญหาโดยให้เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต (ในภาษาเดียว, พูด) สมมติว่าเราพิสูจน์ให้เห็นว่าแยก SAT ต้องเวลาสำหรับทุกkถ้า , แล้วอยู่ในสำหรับบางค่าคงที่ (การพิสูจน์ใช้ทฤษฎีบทของ Cook ที่มีประสิทธิภาพ: ถ้ามีอัลกอริทึม SAT ทำงานในเวลาดังนั้นจะมีพอเพียง) แต่เราพิสูจน์แล้วว่ามีภาษาในที่ไม่ได้อยู่ในสำหรับทุก ๆ$k$$\Omega(n^k)$$k$$P=NP$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^c]$$c$$n^d$$c > d^2$$\Sigma_2 TIME[n]$$TIME[n^k]$$k$. นี่คือความขัดแย้งดังนั้นNP$P \neq NP$

นี่คือบทพิสูจน์ของส่วน (b) หากทุกอาจจะลดลงอย่างมีประสิทธิภาพเพื่อ K-แยกสูตร SAT (เช่นทุกกรณีบิตของได้รับลดลงไปสูตร -ISOLATED SAT ของที่มากที่สุดขนาด) แล้ว1}] สิ่งนี้จะบอกเป็นนัยว่าในทันที แต่ดูเหมือนว่าไม่น่าเป็นไปได้มากที่ทั้งหมดจะสามารถจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพภายในลำดับชั้นพหุนาม$L \in NTIME[n^k]$$n$$L$$k$$f(k) n^{c}$$NP=\bigcup_{k} NTIME[n^k] \subseteq \Sigma_2 TIME[n^{c+1}]$$coNP \neq NP$$NP$