คุณสมบัติ FO จะทำลายความแข็งของ NL เมื่อใด

บริบท: เราพิจารณาเฉพาะกราฟิคเท่านั้น ให้ CYCLE เป็นภาษาของกราฟที่มีวงรอบ มันเป็นปัญหา NL-complete ให้ HASEDGE เป็นภาษาของกราฟที่มีอย่างน้อยหนึ่งขอบ จากนั้นเล็กน้อยนั้นไม่ใช่ NL-hard อีกต่อไปในขณะที่ยังคงอยู่ $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$

ปัญหาที่แท้จริง:ฉันสงสัยว่าภาษายังคงเป็น NL-hard

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

คำถาม:สำหรับสูตรในคำศัพท์ของกราฟคือ NL-hard? คุณสมบัตินี้ตัดสินใจได้หรือไม่? $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

ขอบคุณสำหรับข้อมูลของคุณ!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ผมขอเรียกทรัพย์สินใน "ปัญหาที่เกิดขึ้นจริงของคุณ"{} การแมปต่อไปนี้ลดเป็น : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

สำหรับรับแทนทุกจุดสุดยอดในสองสำเนาและและถ้ามีขอบในให้มีขอบและ'V') ดังนั้นทุกกราฟตอบสนอง{} $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

นอกจากนี้มีวงจร IFFมีวงจรจึงตอบสนอง IFF satifies{} ดังนั้นนั้นยากมาก $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

ฉันคิดว่าการก่อสร้างที่คล้ายกันจะสามารถใช้ได้กับทรัพย์สินที่เป็นสากลทุกประการ

— Jan Johannsen
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการทำงาน Jan! แต่ฉันไม่แน่ใจว่าคุณได้แก้ไขปัญหาเรียบร้อยแล้วหรือไม่หากโครงสร้าง NODIAG ปรากฏใน G มันจะยังคงปรากฏในตอนท้ายของการก่อสร้าง AFAIU

— Michaël Cadilhac

ใช่ แต่อย่างนั้น การก่อสร้างที่บังคับใช้

NODIAG

ดังนั้นหาก

แล้ว

จึง

NODIAG

OTOH ถ้า

แล้วและด้วยเหตุนี้{} ดังนั้นการก่อสร้างลดจะ{}

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

— Jan Johannsen

แจนฉันเสียใจอย่างสุดซึ้งฉันสับสนกับถ้อยคำของคำถาม; กราฟย่อยที่อธิบายไว้นั้นถูกคิดว่าเป็นกราฟที่ไม่รวม โปรดทราบว่าด้วยถ้อยคำก่อนหน้านี้คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มโหนดใหม่สี่โหนดและขอบ , , และเพื่อให้กราฟออกจาก NODIAG อีกครั้งฉันเสียใจมากสำหรับการพิมพ์ผิด

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Michaël Cadilhac

(PS: ในขณะที่ฉันเป็นหนี้คุณสำหรับการทำงานกับคำถามที่ผิดที่นี่เป็นกระดาษ TCS ที่มีชื่อดีที่ไม่ปรากฏในรายการของคุณ: Diamonds เป็น Forever (The Variety DA)โดย Tesson และ Therien.)

— Michaël Cadilhac

ในกรณีที่วิธีการเกี่ยวกับการเพิ่มยอดใหม่ ๆ ในทุกขอบ: ในแทนที่ทุกโดยและโวลต์) กราฟผลลัพธ์คือวัฏจักร iffคือและไม่มีโครงสร้างที่แยกออก BTW ฉันจะไม่รักษารายการนั้นอีกต่อไป

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Jan Johannsen

ปัญหาที่แท้จริงคือ FO การทดสอบว่ามีเช่นนั้นและเห็นได้ชัดใน FO $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

สมมติว่าไม่มีเช่น , จากนั้นยอมรับวัฏจักรชี้นำถ้าหากยอมรับวัฏจักรชี้นำของความยาวสอง สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากความจริงที่ว่าสำหรับสองจุดยอดและของย่านที่อยู่นอกและเป็นเช่นนั้นที่หรือ $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ ) $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะตรวจสอบว่ามีเช่นนั้นซึ่งอยู่ใน FO $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

ดังนั้นอยู่ในและถ้าหาก $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— เอเดรีย
แหล่งที่มา

ขอบคุณเอเดรียน คุณสนใจที่จะเพิ่มการโต้แย้งว่าทำไมละแวกใกล้เคียงของสองโหนดใดเทียบได้? ฉันจะรอนิดหน่อยเพื่อดูว่ามีใครแก้ปัญหาทั้งหมดและถ้าไม่มีใครปรากฏขึ้นฉันจะไปหาคำตอบของคุณ

— Michaël Cadilhac

ฉันไม่คิดว่าการเปรียบเทียบพื้นที่ใกล้เคียงมีอยู่จริง ใช้เวลาเช่นกราฟของเพียงสี่จุด

ที่มีขอบ

และ

)

กราฟความพึงพอใจของไมเคิลสูตร แต่

เปรียบกับ

}

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Jan Johannsen

@Jan: ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดประเด็นของ Adrien ก็คือถ้ากราฟ <i> ไม่ได้ </i> ทำให้พอใจในส่วนที่สองถ้าเป็นวงจรก็จะมีวงจรที่มีความยาว 2 ดังนั้นจุดของเขาคือ หากกราฟ <i> ไม่ตรง </i> จะตอบสนองส่วนที่สองดังนั้นจึงมีความสามารถในการเปรียบเทียบ

— Michaël Cadilhac