ความไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ของชุดฝาครอบ: ฉันสามารถสันนิษฐานได้ว่า m = poly (n)?

ฉันพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาบางอย่างไม่สามารถทำได้โดยการลดลงจากชุดฝาครอบ การลดลงของฉันจะแปลงอินสแตนซ์ด้วยชุดขนาดพื้น $n$ และ $m$ กำหนดเป็นตัวอย่างของปัญหาของฉันที่พารามิเตอร์บางอย่าง $r$ มีขนาด $O(n+m)$ . จากนั้นฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าอินสแตนซ์ของชุดฝาครอบที่ขนาดของฝาครอบสอดคล้องกับตัวอย่างของปัญหาที่ขนาดของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดคือ $2s$ (หรืออะไรทำนองนี้) และในทางกลับกัน ฉันต้องการเรียกใช้ Raz-Safra เพื่อสรุปว่าปัญหาของฉันไม่สามารถทำได้ถึงปัจจัย $c \log{r}$ สำหรับบางค่าคงที่ $c$ . สิ่งนี้จะใช้ได้ดีถ้าฉันสามารถสันนิษฐานได้ $m$ ถูก จำกัด โดยพหุนามคงที่ของ $n$ . ไม่มีใครรู้ว่ามันเป็นโคเชอร์ที่จะคิดเรื่องนี้? นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับครอบครัวของอินสแตนซ์ที่ใช้ในการพิสูจน์ความแข็งแบบมาตรฐานของ NP สำหรับฝาครอบชุด แต่ฉันไม่แน่ใจว่านี่จะเป็นกรณีของการลด PCP ที่ใช้โดย Raz และ Safra หรือไม่

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover

— Edith Elkind
แหล่งที่มา

ใช่จำนวนชุด m ในอินสแตนซ์ set-cover คือพหุนามในจำนวนองค์ประกอบ

โดยวิธีการ - สถานะของความแข็งผลสำหรับ Set-Cover คือ:

ด้วย Noga Alon และ Muli Safra เราแสดงวิธีใช้ Raz-Safra / Arora-Sudan PCP เพื่อให้ค่าคงที่ดีขึ้น $c$ ในปัจจัยความแข็ง $c\log n$ .

http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps
Feige แสดงวิธีรับปัจจัยความแข็งที่ดีที่สุด $(1-\epsilon)\ln n$ สมมติว่า $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ .

http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf
ฉันเพิ่งเผยแพร่บันทึกเกี่ยวกับวิธีการปรับลด Feige ของผล NP- ความแข็ง (เช่นผลจาก ) สมมติว่าเป็นไปได้การคาดเดาเกี่ยวกับ PCPs (การคาดเดาที่เรียกว่า "Projection Games Conjecture" - ความเชี่ยวชาญ ของ 1993 "การเลื่อนระดับการคาดเดา" เพื่อฉายภาพเกม) $P\neq NP$

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (ภายหลังฉันพบว่าการลดจะให้การแลกเปลี่ยนที่ดีที่สุดระหว่างและการลดการระเบิด) $\epsilon$

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

การแยกตัวที่อ่อนแอที่สุดคืออะไร

(1 - ϵ) \log n

$(1-\epsilon)\log n$ ความแข็ง?

— Suresh Venkat

Dana ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ! คำถามติดตามหากคุณไม่ทราบ: นี่เป็นคำถาม "โง่" คือมีการพิจารณาระดับสูงที่บ่งบอกถึง m = poly (n) หรือเป็นกรณีที่เราต้องรู้ ความแข็ง Raz-Safra เพื่อตอบคำถามของฉัน?

— Edith Elkind

@Suresh: ฉันคิดว่าคุณหมายถึง

(1 - ϵ) \ln n

$(1-\epsilon)\ln n$ . สมมติฐานของ Feige (

N P ⊈ D T I M E (n^{\log \log n})

$NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$ ) และข้อสันนิษฐานของฉัน ("The Projection Games Conjecture") เปรียบได้ ฉันเชื่อว่าสมมติฐานของฉันจะได้รับการพิสูจน์ในอนาคตอันใกล้

— Dana Moshkovitz

@lostinjungle: หาก m ไม่ได้เป็นพหุนามใน n คุณจะไม่สามารถพิจารณาการลดลงของ "การลดเวลาแบบโพลีได้" เหตุผลเฉพาะที่ PCP ของ Raz-Safra / Arora-Sudan ให้ผล m = poly (n) นั่นคือมีการตั้งค่าต่อตัวแปร PCP / ข้อ จำกัด + และการกำหนดให้กับพวกเขาและจำนวนตัวแปรและข้อ จำกัด รวมถึง ขนาดของตัวอักษรคือพหุนามและจำนวนคำค้นหาคงที่

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: ขอบคุณ! ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจการอ้างสิทธิ์ครั้งแรกของคุณหรือไม่ มีอะไรผิดปกติกับการลด (สมมุติ) ต่อไปนี้: ฉันเริ่มต้นด้วยตัวอย่างของ (พูด) เวอร์เท็กซ์คลุมด้วย

k

$k$ จุดยอดและสร้างตัวอย่างของ Set Cover with

m = k^{3}

$m = k^3$ ชุดและชุดดินขนาด

n

$n$ ที่ไหน

n

$n$ เป็นวิธีการแก้

n^{\log n} = m

$n^{\log n} = m$ ? วิธีนี้ใช้ได้ผลในเวลาโพลี เป็นที่ยอมรับว่าฉันไม่เคยเห็นการลดลงเช่นนี้ แต่ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ในเชิงตรรกะ หรือฉันผิด แน่นอนคำถามเดิมของฉันได้รับคำตอบแล้วโปรดอย่าสนใจคำถามนี้ ผมอยากรู้เพียงแค่ ...

— อีดิ ธ Elkind