ควอนตัมพิสูจน์ทฤษฎีบทคลาสสิก

ฉันสนใจตัวอย่างของปัญหาที่ทฤษฎีบทซึ่งดูเหมือนไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ควอนตัม / ข้อมูล (เช่นระบุบางอย่างเกี่ยวกับวัตถุคลาสสิกล้วน ๆ ) สามารถพิสูจน์ได้ด้วยเครื่องมือควอนตัม สำรวจควอนตัมพิสูจน์สำหรับทฤษฎีบทคลาสสิก (A. Drucker, R. Wolf) ให้รายการปัญหาที่ดี แต่แน่นอนมีอีกมากมาย

น่าสนใจอย่างยิ่งที่จะเป็นตัวอย่างที่พิสูจน์ควอนตัมเป็นไปไม่ได้เท่านั้น แต่ยัง "เพิ่มเติมความกระจ่าง" ในการเปรียบเทียบกับการวิเคราะห์จริงและมีความซับซ้อนที่วางปัญหาที่แท้จริงในการตั้งค่าที่ซับซ้อนมักจะทำให้มันเป็นธรรมชาติมากขึ้น (เช่นรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายตั้งแต่ถูกปิดพีชคณิต ฯลฯ ); ปัญหาคลาสสิกที่โลกควอนตัมเป็น "ที่อยู่อาศัยตามธรรมชาติ" ของพวกเขา$\mathbb{C}$

(ฉันไม่ได้นิยาม "ควอนตัม" ที่นี่ในแง่ที่ถูกต้องและใคร ๆ ก็สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อโต้แย้งดังกล่าวในที่สุดก็เดือดลงไปเป็นพีชคณิตเชิงเส้นในที่สุดเราสามารถแปลอาร์กิวเมนต์ใด ๆ โดยใช้ตัวเลขที่ซับซ้อนเพื่อใช้คู่ reals เท่านั้น ?)

มีรายงานล่าสุดจาก Scott Aaronson ซึ่งแสดงหลักฐานใหม่ว่าถาวรคือ # P-hard การพิสูจน์นี้มีพื้นฐานมาจากรูปแบบของการคำนวณควอนตัมเชิงเส้น - แสงและใช้งานง่ายกว่าของเลสลี่วาเลนต์

ในความคิดของฉันฉันชอบกระดาษต่อไปนี้:

Katalin Friedl, Gabor Ivanyos, Miklos Santha การทดสอบที่มีประสิทธิภาพของกลุ่ม ใน STOC'05

ที่นี่พวกเขานิยามผู้ทดสอบ "คลาสสิค" สำหรับกลุ่มชาว Abelian อย่างไรก็ตามก่อนอื่นพวกเขาเริ่มต้นด้วยการให้เครื่องทดสอบควอนตัมแล้วพวกเขาก็ดำเนินต่อไปโดยกำจัดชิ้นส่วนควอนตัมทั้งหมด

สิ่งที่ฉันชอบในบทความนี้ก็คือพวกเขาใช้เครื่องทดสอบควอนตัมเพื่อรับสัญชาติญาณและใช้มันเพื่อแก้ปัญหา อาจฟังดูเป็นวิธีที่ยากขึ้น (เริ่มจากควอนตัมและคลาสสิกโก) แต่ผู้เขียนเป็นนักวิจัยที่รู้จักกันดีในการคำนวณควอนตัม ดังนั้นอาจจะง่ายกว่าสำหรับพวกเขาที่จะเริ่มต้นด้วย

ฉันจะบอกว่าการสนับสนุนทางเทคนิคหลักของพวกเขาคือเครื่องทดสอบสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมซึ่งใช้ในการกำจัดส่วนควอนตัม

ผลลัพธ์ล่าสุดและน่าสนใจสองรายการ:

• Samuel Fiorini, Serge Massar, Sebastian Pokutta, Hans Raj Tiwary และ Ronald de Wolf พิสูจน์ให้เห็นว่า "ไม่มีโปรแกรมเชิงเส้นขนาดพหุนาม (LP) ที่มีโครงการ polytope ที่เกี่ยวข้องกับ polytope พนักงานขายการเดินทางแม้ว่า LP ไม่จำเป็นต้องสมมาตร "(อ้างอิงจากนามธรรม)
  พวกเขาใช้ความซับซ้อนของการสื่อสารควอนตัมเป็นเครื่องมือ ดูพวกเขากระดาษและโพสต์บล็อกของกิลคาไล ยังสังเกตเห็นความคิดเห็นของเดฟภายใต้โพสต์ของ Gil Kalai ฉันยังไม่ได้อ่านกระดาษดังนั้นฉันจึงไม่สามารถให้ความเห็นเกี่ยวกับสถานที่และวิธีการใช้สิ่งควอนตัม

• Andrew M. Childs, Shelby Kimmel และ Robin Kothari ใช้ความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัมเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการวัดแบบดั้งเดิมซึ่งเป็นจำนวนประตูสูตรการทำงานเช่น PARITY ดูพวกเขากระดาษ

ในฐานะที่เป็นน้ำยาดัดให้ช่วงกว้างของคลื่นความน่าจะเป็นของผลการวัด bosons หลังจากที่พวกเขาเข้าไปยุ่งใน interferometer เชิงเส้น Scheel ได้ง่าย "ควอนตัม" พิสูจน์ว่าค่าสัมบูรณ์ของถาวรของเมทริกซ์รวม ๆ คือ 1 ( http://arxiv.org/abs / quant-ph / 0406127 )

• ดูการคำนวณแบบคลาสสิกรวบรวมแนวคิดควอนตัมเป็นภาพรวมของการสำรวจ / สำรวจกึ่งวิทยาศาสตร์ / กึ่งป๊อปอัพ / ปรากฏการณ์ควอนตัมควอนตัมโดย Wolchover เขียนให้กับสถาบัน Simons ตัวอย่าง & นำ / อ้างอิง

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาแนวคิดควอนตัมช่วยให้นักวิจัยพิสูจน์ความปลอดภัยของแผนการเข้ารหัสข้อมูลที่มีแนวโน้มเรียกว่าระบบเข้ารหัสลับแบบ lattice ซึ่งเป็นแอพพลิเคชั่นบางตัวที่สามารถห่อหุ้มข้อมูลที่ละเอียดอ่อนของผู้ใช้เช่น DNA แม้กระทั่งจาก บริษัท ต่างๆ การคำนวณควอนตัมยังนำไปสู่สูตรสำหรับความยาวต่ำสุดของรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดซึ่งป้องกันความเสียหายของข้อมูล

แนวคิดควอนตัมยังเป็นแรงบันดาลใจให้กับผลลัพธ์ทางทฤษฎีที่สำคัญเช่นการพิสูจน์อัลกอริธึมเก่าที่ผิดพลาดซึ่งอ้างว่าสามารถแก้ปัญหาพนักงานขายที่มีชื่อเสียงยากในการเดินทางได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งถามว่าจะค้นหาเส้นทางที่เร็วที่สุด

• อีกตัวอย่างล่าสุดที่คล้ายกับทิศทางการวิจัยของ Razborov / Rudich Natural Proofs (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแยกระดับความซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการทำลายกำเนิดตัวเลขสุ่ม)

ขอบเขตล่างของควอนตัมสำหรับการจำแนกฟังก์ชั่นสุ่มจากการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม Henry Yuen

ปัญหาของการแยกความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นการสุ่มและการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มบนโดเมนที่มีขนาด N นั้นมีความสำคัญในการเข้ารหัสเชิงทฤษฎีซึ่งการรักษาความปลอดภัยของระบบพื้นฐานหลายอย่างขึ้นอยู่กับความแข็งของปัญหา เราศึกษาความซับซ้อนของแบบสอบถามควอนตัมของปัญหานี้ ...