ซึ่ง

รูปภาพที่มีชื่อเสียงของ Neil Immerman มีดังต่อไปนี้ (คลิกเพื่อดูภาพขยาย):

คลาส "ที่เป็นไปได้อย่างแท้จริง" ของเขานั้นไม่มีชั้นเรียนอื่น คำถามของฉันคือ:

ปัญหาAC ⁰คืออะไรซึ่งถือเป็นเรื่องที่ไม่น่าปฏิบัติและทำไม?

cc.complexity-theory circuit-complexity

อาจเป็นปัญหาที่ต้องใช้วงจรความลึก 10 ^ {10 ^ 100}?

— Tsuyoshi Ito

@ รอสส์: ฉันไม่คิดอย่างนั้นเพราะเขาไม่ได้พูดถึง "โลกแห่งความจริง" และเขาถามว่า "ทำไม"; ฉันคิดว่าความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันตอบอย่างน้อยส่วน "ทำไม" อย่างไรก็ตามเป็นที่ยอมรับว่าฉันไม่มีตัวอย่างของปัญหา "ธรรมชาติ" ซึ่งอยู่ใน AC0 และต้องการวงจรที่มีความลึก 10 ^ {10 ^ 100}

— Tsuyoshi Ito

มีปัญหาในโลกแห่งความจริงที่น่าสนใจมากมายที่สามารถแก้ไขได้ในช่วงเวลาคงที่และพื้นที่คงที่ ตัวอย่างสุดขีดกำลังคำนวณค่าคงที่บางตัว เราสามารถเขียนโค้ดคำตอบที่ถูกต้องได้ยาก (เช่น 0 หรือ 1) แต่เรายังไม่รู้คำตอบ

— Jukka Suomela

Jukka: นั่นเป็นกรณีปัญหา สมการไดโอแฟนไทน์ (เช่นแฟร์มาต์) ไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นชั้นเรียนแม้ว่าแต่ละกรณีที่เราได้ตัดสินใจมีวงจรความลึกคงที่

— András Salamon

@ András: ถ้าคุณต้องการการตัดสินใจแก้ปัญหาที่มีหลายอย่างมากมาย "ใช่" และ "ไม่" อินสแตนซ์: Let

ประกอบด้วยแม้ตัวเลขและ

ที่

ถ้าผู้เล่นสีขาวมีกลยุทธ์ชนะในเกมหมากรุกและอื่น ๆ

มีวงจรครอบครัวที่เรียบง่ายมากที่ตัดสินใจ

แต่ฉันก็ยังอ้างว่ามันเป็น "ไม่น่าปฏิบัติ" ไม่ใช่เพราะวงจรจะมีขนาดใหญ่ แต่เนื่องจากการออกแบบวงจรจะเป็นความพยายามในการคำนวณขนาดใหญ่ ... การโกง? -)

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$

x = 3

$x = 3$

L

$L$

— Jukka Suomela

คำตอบ:

หากคุณต้องการตัวอย่างของ AC ⁰ฟังก์ชั่นที่ต้องใช้ความลึกและไม่สามารถคำนวณได้โดย AC ⁰วงจรของความลึกแล้วลองฟังก์ชั่น Sipser nตัวยก $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ เป็นความลึกที่จำเป็นสำหรับวงจรAC⁰ขนาดพหุนาม ด้วยความลึก $d$ $d-1$ วงจรจะต้องมีประตูหลายเท่า

ดังนั้นคำนวณสำหรับ $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$ จะไม่ "เป็นไปได้อย่างแท้จริง"

แก้ไข: คำถามของคุณถามด้วยว่าทำไมสิ่งนี้ถึงไม่เป็นไปได้ ฉันคิดว่าเหตุผลก็คือนั้นมากกว่าจำนวนอะตอมในเอกภพที่มองเห็นได้ $10^{10^{100}}$

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

เยี่ยมมากขอบคุณ! บางทีคุณสามารถเพิ่มคำจำกัดความที่ไม่เป็นทางการของฟังก์ชัน Sipser ได้? ฉันไม่รู้เกี่ยวกับชื่อนั้น

— Michaël Cadilhac

@ Michaël: น่าเสียดายที่ฉันไม่มีคำจำกัดความที่เข้าใจง่ายสำหรับฟังก์ชั่น Sipser แนวคิดก็คือการสร้างฟังก์ชั่นของ d quantifiers เช่นที่ไม่มีวงจรความลึก d-1 สามารถคำนวณได้ เราต้องการให้ d quantifiers หาปริมาณมากกว่าตัวแปรจำนวนมาก มีบทความดีๆจาก Iddo Tzameret ชื่อ "Håstadการแยกวงจรคงที่ความลึกโดยใช้ฟังก์ชั่น Sipser" ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) ที่กำหนดหน้าที่อย่างเป็นทางการในหน้า 7

— Robin Kothari

ลำดับชั้นทั้งหมดนี้มีความแข็งแกร่งโดยเจตนาภายใต้การเปลี่ยนแปลงพหุนามของขนาดอินพุต คลาสใด ๆ ในนั้นสามารถมีฟังก์ชั่นที่มีความซับซ้อนว่า n ^ {1000000000} ซึ่งในทางทฤษฎีจะ "เป็นไปได้" แต่ไม่แน่นอนในทางปฏิบัติ อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้ส่วนใหญ่จะเป็นปัญหาที่ประดิษฐ์ขึ้นมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งการโต้แย้งการนับมีสูตรครอบครัว DNF (= AC ^ 0 ความลึก 2 วงจร) ของขนาด n ^ 1000000 ซึ่งไม่มีอัลกอริทึมที่มีเวลาทำงานน้อยกว่า n ^ 999999 สามารถคำนวณได้ (ในชุดเครื่องแบบเราคาดหวังสิ่งที่คล้ายกัน แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้)

— โนม
แหล่งที่มา

ปัญหาการหยุดทำงานเมื่ออินพุตถูกแสดงด้วย unary อยู่ใน AC ^ 0 และยังไม่สามารถทำได้จริง ฉันไม่แน่ใจว่านี่คือสิ่งที่คุณหมายถึง แต่อาจเป็นสิ่งที่ Immerman หมายถึง

— Elad
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าคลาสในไดอะแกรมนั้นถูกนิยามด้วยแนวคิดเรื่องความสม่ำเสมอ? มิฉะนั้นทิศทางที่สูงขึ้นจะไม่แสดงถึงการบรรจุเนื่องจาก P ไม่มี AC-0 ที่ไม่สม่ำเสมอ

— Robin Kothari

A C^{0}

$AC^0$

{0, 1}

$\{0,1\}$

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$

X

$X$

จุดที่ถ่ายได้ดี เป็นอีกทางเลือกหนึ่งดังต่อไปนี้ Erdos เราสามารถแนะนำปัญหาที่เกิดขึ้นกับอินพุตใด ๆ ให้ส่งออกหมายเลข Ramsey สำหรับสีแดงหกและสีน้ำเงินหก

— Elad