การตัดสินใจว่าวงจรคำนวณการเปลี่ยนแปลง

ความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าวงจรกับบิตบิตและบิตเอาท์พุทคำนวณการเปลี่ยนแปลงของคืออะไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าสตริงบิตทุกตัวใน เป็นเอาต์พุตของวงจรสำหรับอินพุตบางส่วนหรือไม่? ดูเหมือนว่าปัญหาที่ได้รับการศึกษา แต่ฉันไม่สามารถหาการอ้างอิงใด ๆ $\mathsf{NC}^0$ $n$ $n$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$

cc.complexity-theory circuit-complexity permutations

— Qicheng
แหล่งที่มา

ขอบเขตที่ชัดเจนคือซึ่งใช้ได้กับ (ตรวจสอบว่าฟังก์ชั่นนั้นเป็นแบบหัวฉีด)

c o N P

$\mathsf{coNP}$

P

$\mathsf{P}$

— Kaveh

คุณหมายถึงอะไรโดย“ วงจร NC0”? วลีปกติคือ“ NC0 ตระกูลของวงจร” ซึ่ง (อาจจะโชคไม่ดี) มักจะย่อมาจาก "NC0 circuit" แต่ฉันไม่คิดว่าคุณหมายถึงวงจร NC0 ในคำถามของคุณ

— Tsuyoshi Ito

โดยวงจรฉันหมายถึงว่าทุกบิตเอาท์พุทของวงจรขึ้นอยู่กับจำนวนอินพุตบิต

N C^{0}

$NC^0$

— QiCheng

ใช่ฉันกำลังถามเกี่ยวกับครอบครัว เพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนยิ่งขึ้นคุณสามารถเปลี่ยนเป็นโดยที่ทุก ๆ บิตเอาท์พุทขึ้นอยู่กับอินพุตบิตในตระกูลเท่านั้น

N C^{0}

$NC^0$

N C_{5}^{0}

$NC_5^0$

5

$5$

— QiCheng

นี่ไม่ตอบคำถามของคุณ แต่ถ้าปัญหาเป็นเรื่องทั่วไปเพื่อให้แต่ละบิตเอาต์พุตได้รับอนุญาตให้ขึ้นอยู่กับบิตอินพุต O (log n) จากนั้นฉันคิดว่าปัญหาเป็น coNP-complete ภายใต้การลดทอนทัวริง สิ่งนี้ตามมาจากความครบถ้วนสมบูรณ์ของ coNP ของความสามารถในการพลิกกลับอัน จำกัด ของออโตมาตาเซลลูลาร์สองมิติ ( Durand 1994 ) โดยการแสดงแต่ละเซลล์ในออโตเซลลูลาร์สองมิติในฐานะสตริงไบนารี่บิต O (log n)

— Tsuyoshi Ito

ความแข็ง

ตามความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับคำถามเราจะเรียกวงจรที่แต่ละบิตเอาต์พุตขึ้นอยู่กับบิตอินพุตkมากที่สุดคือ “ วงจรNC ⁰_k ” โดยใช้คำนี้ปัญหาของคุณจะถูกทำให้เสร็จสมบูรณ์ในกรณีของวงจรNC ⁰₅นั่นคือปัญหาต่อไปนี้คือ coNP-complete

อินสแตนซ์ : วงจรบูลีนC ที่มีnบิตอินพุตและnบิตเอาท์พุทที่แต่ละบิตเอาท์พุทขึ้นอยู่กับบิตอินพุตมากที่สุดห้าตัว
คำถาม : การแมปจาก {0,1} ⁿถึงตัวเองคำนวณโดยC bijective หรือไม่

ตามที่ Kaveh แสดงความคิดเห็นมันชัดเจนใน coNP แม้ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนของบิตอินพุตที่แต่ละบิตเอาท์พุทขึ้นอยู่กับ เพื่อพิสูจน์ความแข็ง coNP เราจะลด 3SAT ให้เป็นส่วนเสริมของปัญหาปัจจุบัน แนวคิดหลักของการลดเช่นเดียวกับที่ใช้ในหนังสือพิมพ์ [Dur94] โดย Durand ซึ่งฉันได้กล่าวถึงในความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถาม แต่การลดทั้งหมดนั้นง่ายกว่ามากในกรณีของเรา

ด้วยสูตร 3CNF φที่มีตัวแปรnและอนุประโยคmเราสร้างวงจรบูลีนC ที่มีอินพุต( n + m ) บิตอินพุตและบิตเอาต์พุต ( n + m ) ดังนี้ เราป้ายบิตการป้อนข้อมูลที่เป็นx ₁ , ... , x _n , y ที่₁ , ... , Y _เมตรและบิตออกเป็นx ' ₁ , ... , x ' _n , Z ₁ , ... , Zเมตรเราพิจารณาว่าอินพุตบิตx₁ , ... , x _nระบุการกำหนดความจริงกับnตัวแปรในφ

x ' _ฉัน = x _ฉันสำหรับ1≤ ฉัน ≤ n นั่นคืออินพุตnบิตแรกจะถูกคัดลอกไปยังเอาต์พุตnบิตแรกเสมอ
สำหรับ1≤ ฉัน ≤ เมตรถ้าฉันประโยค TH φเป็นที่พอใจแล้วZ _ฉัน = Y _ฉัน ⊕ Y _{ฉัน +1}ที่ห้อยถูกตีความแบบโมดูโลเมตร มิฉะนั้นZ _ฉัน = Yฉัน

โปรดทราบว่าแต่ละบิตเอาต์พุตขึ้นอยู่กับอินพุตบิตสูงสุดห้าบิต ฉันละเว้นการพิสูจน์ความถูกต้องของการลด แต่ความคิดที่สำคัญ (ซึ่งผมยืมมาจาก [Dur94]) คือว่าถ้าφคือพอใจและบิตอินพุตx ₁ , ... , x _nมีการกำหนดให้การกำหนดความพึงพอใจของφแล้วเมตรบิตออกZ ₁ , ... , Z _ม.มีข้อ จำกัด ที่จะมีความเท่าเทียมกันได้และดังนั้นวงจรที่ไม่สามารถจะเปลี่ยนแปลง ในทางตรงกันข้ามถ้าอินพุตบิตx ₁ , …, x _nถูกตั้งค่าเป็นการกำหนดค่าที่ไม่เป็นที่พอใจของφดังนั้นเอาต์พุตบิตz₁ , …, z _mสามารถตั้งค่าเป็นอะไรก็ได้ ด้วยเหตุนี้ถ้าφไม่น่าพอใจวงจรก็จะเปลี่ยนรูป

สามารถจัดการได้ง่าย

ในด้านที่เข้าใจง่ายปัญหาของคุณคือ P ในกรณีของวงจรNC ⁰₂สิ่งนี้แสดงดังต่อไปนี้ โดยทั่วไปการส่งออกแต่ละบิตในวงจรบูลีนสำหรับการเปลี่ยนแปลงเป็นสมดุล ; นั่นคือครึ่งหนึ่งของสตริงอินพุตตั้งค่าบิตเอาต์พุตเป็น 1 อย่างไรก็ตามฟังก์ชันบูลีนที่สมดุลจาก {0,1} ²ถึง {0,1} คือaffine ; เช่นสำเนาบิตอินพุตเดี่ยว, XOR ของอินพุตบิตทั้งสองหรือการปฏิเสธของพวกเขา ดังนั้นก่อนอื่นเราสามารถตรวจสอบว่าแต่ละบิตเอาต์พุตมีความสมดุลแล้วตรวจสอบความถูกต้องทางชีวภาพด้วยการกำจัดแบบเกาส์เซียน

ฉันไม่ทราบความซับซ้อนในกรณีของวงจรNC ⁰₃หรือในกรณีของวงจรNC ⁰₄

อ้างอิง

[Dur94] Bruno Durand การผกผันของออโตเซล 2D แบบเซลลูลาร์: ผลลัพธ์ที่ซับซ้อน ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ , 134 (2): 387–401, พ.ย. 1994. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

ฉันโพสต์คำถามติดตามผลเกี่ยวกับกรณีของวงจร NC ^ 0_3

— Tsuyoshi Ito