มีตรรกะโดยไม่ต้องเหนี่ยวนำที่จับมาก P?

Immerman-Vardi ทฤษฎีบทระบุว่า PTIME (หรือ P) เป็นอย่างแม่นยำระดับของภาษาที่สามารถอธิบายได้ด้วยประโยคแรกที่สั่งซื้อลอจิกร่วมกันกับผู้ประกอบการจุดคงที่กว่าระดับของโครงสร้างที่สั่งซื้อ โอเปอเรเตอร์จุดคงที่สามารถเป็นจุดคงที่น้อยที่สุด (ตามที่พิจารณาโดย Immerman และโดย Vardi) หรือจุดคงที่แบบขยาย (สเตฟาน Kreutzer, การแสดงออกที่เท่าเทียมกันของตรรกะจุดคงที่อย่างน้อยและเงินเฟ้อ , พงศาวดารของตรรกะที่บริสุทธิ์และประยุกต์130 61-78, 2004)

ยูริ Gurevich สันนิษฐานว่าไม่มีเหตุผลจับ PTIME ( ตรรกะและความท้าทายของวิทยาการคอมพิวเตอร์ในปัจจุบันแนวโน้มในทฤษฎีวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เอ็ดเอ็ด Egon Boerger, 1-57 สำนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ 2531) ขณะที่มาร์ติน Grohe ระบุว่าเขาคือ ไม่ค่อยแน่ใจ ( The Quest for a Logic Capturing PTIME , FOCS 2008)

ผู้ประกอบการจุดคงที่หมายถึงการจับพลังของการเรียกซ้ำ คะแนนคงที่มีประสิทธิภาพ แต่ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าจำเป็น

มีตัวดำเนินการ X ที่ไม่ยึดตามจุดคงที่หรือไม่เช่นนั้น FOL + X จะตรวจจับ PTIME (ขนาดใหญ่) ของ PTIME หรือไม่

แก้ไข:เท่าที่ฉันเข้าใจตรรกะเชิงเส้นสามารถแสดงข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างที่มีรูปแบบที่ค่อนข้าง จำกัด เท่านั้น ฉันอยากจะเห็นการอ้างอิงถึงหรือภาพร่างของตรรกะที่สามารถแสดงคุณสมบัติของโครงสร้างเชิงสัมพันธ์โดยพลการในขณะที่ยังคงหลีกเลี่ยงจุดคงที่ หากฉันผิดเกี่ยวกับพลังการแสดงออกของตรรกะเชิงเส้นแล้วตัวชี้หรือคำใบ้จะได้รับการต้อนรับ

คุณต้องการดูสิ่งที่บางคนเรียกว่าทฤษฎีบทของGrädel คุณสามารถค้นหาได้ในหนังสือ Papadimitriou ของ "การคำนวณซับซ้อน" (มันทฤษฎีบท 8.4 ในหน้า 176) หรือเดิม Gradel ของกระดาษ

โดยสรุปแล้วทฤษฎีบทของGrädelคือทฤษฎีบท P สิ่งที่ทฤษฎีบทของ Fagin มีต่อ NP มันกล่าวว่าในชั้นเรียนของโครงสร้าง จำกัด ที่มีความสัมพันธ์สืบต่อการสะสมของคุณสมบัติพหุนามเวลาที่เกิดขึ้นพร้อมกับผู้ที่แสดงออกใน Horn-fragment ของตรรกะลำดับที่สองที่มีอยู่ นี่คือประโยคที่สอง - ลำดับตรรกะของแบบฟอร์ม โดยที่คือลำดับที่สอง - ลำดับความสัมพันธ์ตัวแปรเป็นลำดับของตัวแปรลำดับแรกและเป็นสูตรที่ไม่มีปริมาณที่เมื่อเขียนในรูปแบบ CNF คือการรวมกันของ -Horn clauses (เช่นคำสั่งที่มีอะตอมที่ไม่ถูกทำให้ยุ่งเหยิงมากที่สุดหนึ่งตัวที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใน )

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$$R$

เท่าที่ฉันเข้าใจตรรกะเชิงเส้นสามารถแสดงข้อความเกี่ยวกับโครงสร้างที่มีรูปแบบที่ค่อนข้าง จำกัด เท่านั้น ฉันอยากจะเห็นการอ้างอิงถึงหรือภาพร่างของตรรกะที่สามารถแสดงคุณสมบัติของโครงสร้างเชิงสัมพันธ์โดยพลการในขณะที่ยังคงหลีกเลี่ยงจุดคงที่ หากฉันผิดเกี่ยวกับพลังการแสดงออกของตรรกะเชิงเส้นแล้วตัวชี้หรือคำใบ้จะได้รับการต้อนรับ

สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง: โปรย Monoidal commutative ที่ตกค้างทั้งหมดเป็นแบบจำลองของลอจิกเชิงเส้น นี่เป็นวิธีง่ายๆในการสร้างขัดแตะจากกราฟ จำกัด เริ่มต้นด้วยชุด

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

ดังนั้นความสัมพันธ์บังคับของเราจะเป็นและสัญชาตญาณที่เป็นที่คือชุดของโหนด "เป็นเจ้าของ" โดยสูตร\มีการดำเนินการบางส่วนหมายถึง: $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

สิ่งนี้จะรวมสององค์ประกอบเข้าด้วยกันโดยผสานชุดที่เป็นของตนเองเข้าด้วยกันหากกราฟมีค่าเท่ากันและชุดที่เป็นเจ้าของนั้นแยกออกจากกัน

ทีนี้เราสามารถสร้างโมเดลเชิงตรรกะเชิงเส้นดังนี้

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

แบบจำลองนี้เป็นตัวแปรที่ใช้ในการแยกลอจิกซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการตรวจสอบโปรแกรมที่จัดการฮีป (หากคุณต้องการให้คิดว่ากราฟเป็นโครงสร้างตัวชี้ของกองและการเปรียบเทียบนั้นแน่นอน!)

นี่ไม่ใช่วิธีที่ถูกต้องที่จะคิดเกี่ยวกับตรรกะเชิงเส้น แต่: สัญชาตญาณที่แท้จริงของมันคือการพิสูจน์เชิงทฤษฎีและการเชื่อมต่อกับความซับซ้อนนั้นมาจากความซับซ้อนในการคำนวณของทฤษฎีการตัดออก ทฤษฎีแบบจำลองของลอจิกเชิงเส้นคือเงาที่นำเสนอโดยทฤษฎีการพิสูจน์ของมัน

มีผลลัพธ์ที่น่าตื่นเต้นเมื่อไม่นานมานี้เกี่ยวกับการค้นหาลอจิก PTIME ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของCai, Fürerและ Immermanแสดงว่า LFP + C ไม่ได้จับ PTIME นั้นขึ้นอยู่กับระดับของกราฟที่ประดิษฐ์ขึ้นมา แน่นอนว่ามันถูกสร้างขึ้นสำหรับงานเฉพาะในการแสดงให้เห็นถึงข้อ จำกัด ของ LFP + C เมื่อไม่นานมานี้Dawarแสดงให้เห็นว่าชั้นนั้นไม่ได้เป็นของปลอมเลย มันสามารถถูกมองว่าเป็นตัวอย่างสำหรับข้อเท็จจริงที่ว่า LFP + C ไม่สามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้น!

ดังนั้นDawar, Grohe, Holm และ Laubner ได้ขยาย logics โดยตัวดำเนินการจากพีชคณิตเชิงเส้นเช่นโดยโอเปอเรเตอร์เพื่อกำหนดระดับของเมทริกซ์ที่นิยามได้ ตรรกะอันดับที่ได้จาก LFP + สามารถแสดงได้อย่างเข้มงวดมากกว่า LFP + C อันที่จริงไม่มีคุณสมบัติ PTIME ที่รู้จักซึ่งอันดับ LFP + ไม่สามารถแสดงได้

แม้ FO + rk จะทรงพลังอย่างน่าประหลาดใจ แต่ก็สามารถแสดงการปิดที่กำหนดได้และสมมาตร มันยังคงเปิดอยู่ว่าจะสามารถแสดงการปิดสกรรมกริยาทั่วไปของกราฟได้หรือไม่

ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "จับ", Soft Linear Logic และเวลาพหุนามโดย Yves Lafont อาจเป็นที่สนใจ มีการโต้ตอบ 1-1 ถึงการพิสูจน์ในตรรกะนี้และอัลกอริทึม PTIME ที่ใช้สตริงเป็นอินพุตและเอาต์พุต 0 หรือ 1

บทความวิกิพีเดียเป็น Linear ลอจิกเป็นที่นี่ มันไม่ใช่ตรรกะ fixpoint สัญชาตญาณของ "ตรรกะคลาสสิกกับ algebras แทนที่จะเป็น algebras แบบบูล" เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันที่จะเข้าใจ$C^*$

งานเก่า ๆ เกี่ยวกับปัญหานี้อีกครั้งใน Linear Logic หลอดเลือดดำคือ Jean-Yves Girard, Andre Scedrov และ Philip Scott ตรรกะเชิงเส้นที่ถูกผูกมัด: วิธีการแบบแยกส่วนเพื่อการคำนวณเชิงพหุนามเวลา ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ 97 (1): 1–66, 1992

ผลงานล่าสุดรวมถึงBounded Linear Logic, เยี่ยมชมโดย Ugo Dal Lago และ Martin Hofmann