โครงสร้างข้อมูลสำหรับพา ธ ที่สั้นที่สุด

ให้เป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางโดยไม่มีขอบกับจุดยอดและขอบเป็นไปได้หรือไม่ที่จะประมวลผลล่วงหน้าและสร้างโครงสร้างข้อมูลขนาดเพื่อให้สามารถตอบแบบสอบถามในรูปแบบ "ระยะห่างระหว่างและ " ในเวลา O (n)? $G$ $n$ $m$ $G$ $m \cdot \mathrm{polylog}(n)$ $u$ $v$

ปัญหาดูเหมือนพื้นฐานเกินไปที่จะไม่ได้รับการแก้ไข

graph-theory graph-algorithms ds.data-structures

— ilyaraz
แหล่งที่มา

ในการตอบกลับคำพูดสุดท้ายของคุณเกี่ยวกับ“ พื้นฐานเกินไปที่จะไม่ได้รับการแก้ไข”: หากคำตอบต้องตอบในเวลาที่กำหนดแน่นอนว่าเป็นการศึกษาที่ดี แต่ประเด็นคำถามของคุณคือคุณอนุญาตเวลา O (n) สำหรับการสืบค้น (แทนที่จะเป็น O (1) หรือ O (m) เล็กน้อย แม้ว่าฉันคิดว่ามันเป็นคำถามที่น่าสนใจ แต่ฉันไม่คิดว่าคำถามนี้มีความสำคัญพื้นฐาน

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto - ฉันไม่เห็นว่าทำไมคำถามสูญเสีย "ความสำคัญขั้นพื้นฐาน" หากอนุญาตให้ใช้เวลาแบบสอบถามแบบเส้นตรงคงที่ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันสามารถแก้ไขปัญหาข้างต้นด้วยข้อ จำกัด ที่สามารถตอบแบบสอบถามระยะทางในเวลาสำหรับและเวลาประมวลผลมากที่สุด - นี่จะไม่ให้อัลกอริทึมย่อยลูกบาศก์สำหรับการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดหรือไม่ โดยส่วนตัวฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่น่าสนใจมาก

O (n^{1 - ε})

$O(n^{1-\varepsilon})$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (n^{3 - ε})

$O(n^{3 - \varepsilon})$

— Rachit

ฉันไม่รู้ว่ามีวิธีทั่วไปหรือไม่ แต่มีวิธีที่ดีในกราฟ treewidth ที่ถูก จำกัด ขอบเขตให้ดูที่การสืบค้น Path ที่สั้นที่สุดในกราฟ treewidth ที่ล้อมรอบ

— Saeed

และถ้าคุณสามารถสร้างแผนผังเส้นทางที่สั้นที่สุด (เริ่มจากแต่ละโหนด) จากนั้นตอบแบบสอบถามเส้นทางที่สั้นที่สุด (โดยรูทที่เกี่ยวข้อง) ในหรือด้วยวิธีที่คล้ายกันคุณสามารถสร้างได้ โครงสร้างข้อมูลที่มีขนาดหน่วยความจำน้อยกว่า

m = Ω (n^{2})

$m = \Omega(n^2)$

O (n)

$O(n)$

— Saeed

คำตอบ:

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจมาก ในระดับสูงคุณกำลังถามว่าใครสามารถประมวลผลกราฟก่อนว่าแบบสอบถามเส้นทางที่สั้นที่สุดจะกลายเป็นอิสระจากความหนาแน่นของกราฟโดยไม่ต้องใช้พื้นที่เพิ่มเติมมาก - น่าสนใจ แต่อย่างที่คุณพูดไม่ได้รับการแก้ไข

หากคุณมีความสุขกับระยะทางโดยประมาณนี่เป็นวิธีการได้รับ -approximation ให้เป็นกราฟแบบไม่ระบุทิศทางด้วย nodes และ edge มันแสดงให้เห็นในกระดาษต่อไปนี้ว่าสำหรับการสอบถามระยะทางโดยประมาณการออกแบบโครงสร้างข้อมูลสำหรับกราฟที่มีขอบนั้นไม่ยากกว่ากราฟที่แต่ละโหนดมีระดับที่ล้อมรอบด้วย : $2$ $G$ $n$ $m$ $m$ $m/n$

R. Agarwal, PB Godfrey, S. Har-Peled, การค้นหาระยะทางโดยประมาณและการกำหนดเส้นทางแบบกระชับในกราฟกระจัดกระจาย, INFOCOM 2011

ดังนั้นสมมติว่าเป็นกราฟที่มีขอบเขต จำกัด -degree ตัวอย่างโหนดสม่ำเสมอ เรียกโหนแลนด์มาร์กเหล่านี้ ในระหว่างขั้นตอนการประมวลผลล่วงหน้าให้จัดเก็บระยะห่างจากแต่ละจุดสังเกตจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งในกราฟ นี้ต้องใช้พื้นที่ สำหรับแต่ละโหนดเก็บสถานที่สำคัญของโหนดที่อยู่ใกล้(U) นอกจากนี้ยังจัดเก็บกราฟภายในโครงสร้างข้อมูลพูดเป็นรายการ adjacency $G$ $m/n$ $\alpha = O(m/n)$ $O(m)$ $u$ $\ell(u)$

เมื่อสอบถามระยะห่างระหว่างและเติบโตลูกรอบทั้งสองโหนด - ลูกของโหนดถูกกำหนดให้เป็นชุดของโหนดที่มีอย่างเคร่งครัดใกล้ชิดกับมากกว่าที่จะโหนสถานที่สำคัญที่อยู่ใกล้มันพูด(w) จะเห็นได้ว่าขนาดของลูกบอลแต่ละลูกคือตามที่คาดหวัง ปล่อย , ที่คือลูกบอลของโหนดและคือชุดของเพื่อนบ้านของโหนดในมึง) สามารถแสดงให้เห็นว่าขนาดของคือตามที่คาดหวัง $u$ $v$ $w$ $w$ $\ell(w)$ $O(n^2/m)$ $\Gamma(u) = B(u) \cup N(B(u))$ $B(u)$ $u$ $N(B(u))$ $B(u)$ $\Gamma(u)$ $O(n)$

ตอบแบบสอบถาม: ถ้าให้ส่งคืน ; อื่นถ้า , ส่งคืน ; อื่น ๆ ผลตอบแทนU) มันง่ายที่จะแสดงว่านี่เป็น -approximation $\Gamma(u) \cap \Gamma(v) \neq \emptyset$ $\min_{x \in \Gamma(u) \cap \Gamma(v)} \{d(u, x) + d(v, x)\}$ $d(u, \ell(u)) \leq d(v, \ell(v))$ $d(u, \ell(u)) + d(\ell(u), v)$ $d(v, \ell(v)) + d(\ell(v), u)$ $2$

ในแง่ของเวลาแบบสอบถามโปรดสังเกตว่าการปลูกลูกต้องใช้เวลาเวลาสำหรับกราฟ -degree; การสร้างและกำหนดให้ลูกบอลต้องใช้เวลา (เนื่องจากเพื่อนบ้านถูกเก็บไว้ในโครงสร้างข้อมูล); และตรวจสอบว่าเป็นที่ว่างเปล่าหรือไม่นอกจากนี้ยังใช้เวลา $O(n)$ $m/n$ $\Gamma(u)$ $\Gamma(v)$ $O(n)$ $\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$ $O(n)$

ขอบเขตดังกล่าวอยู่ในความคาดหมาย; ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะลดขนาดการก่อสร้าง แต่น่าเสียดายที่เทคนิคนี้ดูเหมือนจะไม่ช่วยให้ได้รับประมาณดีกว่า2มันเป็นคำถามที่น่าสนใจมาก ๆ .... $2$

— รจิตร
แหล่งที่มา

เทคนิคข้างต้นไม่ได้ใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่ากราฟอินพุตของคุณไม่มีการถ่วงน้ำหนัก อาจมีบางสิ่งที่น่าสนใจที่คุณสามารถทำได้โดยการใช้ประโยชน์จากความจริงนั้น แต่ฉันไม่สามารถคิดวิธีที่จะดึงระยะทางที่แน่นอน ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นไปได้ที่จะลดเวลาในแบบสอบถามไปยังและได้รับระยะล้อมรอบด้วยที่คือระยะทางที่แน่นอนระหว่างและV

O (n^{2} / m)

$O(n^2/m)$

2 d + 1

$2d+1$

d

$d$

u

$u$

v

$v$

— Rachit

ฉันรู้ว่าฉันไม่เข้าใจว่าทำไมมันถึงเป็นการประมาณ 2 แบบ Thorup-Zwick ในสถานการณ์เดียวกันจะให้ 3 ประมาณ

— ilyaraz

@ilyaraz: โปรดทราบว่ารูปแบบ Thorup-Zwick ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ (และด้วยเหตุนี้ให้ตอบแบบสอบถามในเวลาเกือบคงที่) ดูกระดาษที่ฉันกล่าวถึงข้างต้นสำหรับการพิสูจน์ยืด

Γ (u) \cap Γ (v)

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$

2

$2$

— Rachit

สิ่งที่คุณต้องการเรียกว่า "ระยะทาง oracle" น่าเสียดายที่ฉันไม่คุ้นเคยกับออราเคิลระยะทางมากนักดังนั้นฉันจึงสามารถอ้างอิงคุณถึงเอกสารน้ำเชื้อได้เนื่องจาก Thorup และ Zwick:

Mikkel Thorup และ Uri Zwick ออราเคิลระยะทางโดยประมาณ STOC '01, 2001

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาจากบทคัดย่อ:

ให้เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่กำหนดทิศทางด้วยและm ให้เป็นจำนวนเต็ม เราแสดงให้เห็นว่าสามารถประมวลผลล่วงหน้าได้ในเวลาที่คาดไว้การสร้างโครงสร้างข้อมูลขนาดเช่นนี้ แบบสอบถามทางไกลสามารถตอบได้ประมาณในเวลา ระยะทางโดยประมาณกลับมาเป็นของการยืดที่มากที่สุดคือความฉลาดที่ได้รับโดยการหารระยะทางโดยประมาณโดยระยะทางที่โกหกที่เกิดขึ้นจริงระหว่าง 1 และ1 [... ] ความต้องการพื้นที่ของอัลกอริทึมของเราคือ [... ] เหมาะสมที่สุด $G = (V, E)$ $|V| = n$ $|E| = m$ $k$ $G = (V, E)$ $O(kmn^{1/k})$ $O(kn^{1+1/k})$ $O(k)$ $2k - 1$ $2k - 1$

ตามผลลัพธ์ของพวกเขาสิ่งที่คุณร้องขอนั้นสามารถทำได้แม้จะเป็นกราฟน้ำหนัก: การเลือกให้ผลพยากรณ์ระยะทางขนาดได้รับในเวลาที่คาดหวังซึ่งสามารถตอบแบบสอบถามเส้นทางที่สั้นที่สุดของคุณด้วย - ยืดเวลา ! $k=1$ $O(n^2)$ $O(mn)$ $1$ $O(1)$

ออราเคิลระยะทางเป็นสาขาที่ได้รับการวิจัยเป็นอย่างดีดังนั้นคุณจะสามารถขุดต่อไปฉันเชื่อ

— Gabor Retvari
แหล่งที่มา

รุ่นวารสาร: JACM 2005

— Tsuyoshi Ito

การใช้พื้นที่ทำให้สามารถเก็บตารางค้นหาได้อย่างไร้เดียงสา ดังนั้นบทความนี้ (ซึ่งฉันทราบ) ไม่เกี่ยวข้องที่นี่

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ilyaraz

ยุติธรรมพอสมควร ผลลัพธ์ใกล้เคียงกับสิ่งที่คุณร้องขอ AFAIK มากที่สุดคือกราฟที่มีค่าองศาโดยเฉลี่ยที่ให้เส้นทางที่ยืดออก 2 ด้วยพื้นที่ในแบบสอบถามเวลา. (R. Agarwal, P. Godfrey และ S. Har-Peled "การค้นหาระยะทางโดยประมาณและการจัดเส้นทางแบบกระชับในกราฟ

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— กระจาย

ใช้ Bourgain ของการฝังตัวของตัวชี้วัดลงในหนึ่งสามารถเกิดขึ้นกับ oracle มีพื้นที่เวลาแบบสอบถามและความผิดพลาดคูณn)

ℓ_{1}

$\ell_1$

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ilyaraz