ความสัมพันธ์ระหว่างความสมมาตรกับการคำนวณในระบบ?

คงชี้ปัญหา automorphism ฟรีขอ automorphism กราฟซึ่งย้ายอย่างน้อยk ( n )โหนด ปัญหาคือN Pสมบูรณ์ถ้าk ( n ) = n คสำหรับการใด ๆค > 0$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

อย่างไรก็ตามถ้าปัญหานี้คือเวลาพหุนามทัวริงสามารถลดปัญหากราฟ Isomorphism ถ้าk ( n ) = O ( log n / log log n )ปัญหาคือเวลาพหุนามเทียบเท่ากับปัญหากราฟ Automorphism ซึ่งอยู่ในN P Iและไม่ทราบว่าเป็นN P - สมบูรณ์ ปัญหา Automorphism ของกราฟคือการทำให้เข้าใจถึงปัญหา Isomorphism ของกราฟ$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

ความซับซ้อนของการนับจำนวนจุดยอดที่ถูกเคลื่อนย้ายโดย Automorphisms กราฟอันโต Lozano และ มูลนิธิเทคโนโลยีซอฟต์แวร์Vijay Raghavan , LNCS 1530, pp. 295-306

ปรากฏว่าการคำนวณความแข็งเพิ่มขึ้นเมื่อเราเพิ่มความสมมาตรของวัตถุที่เราพยายามหา (ตามที่ระบุโดยจำนวนโหนดที่ต้องเคลื่อนที่โดยออโตมอร์ฟิซึม) ดูเหมือนว่าสิ่งนี้อาจอธิบายถึงการขาดเวลาพหุนามลดทัวริงจากรุ่น NP- สมบูรณ์เพื่อกราฟ Automorphism (GA)

มีอีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาที่ยากซึ่งสนับสนุนความสัมพันธ์นี้ระหว่างสมมาตรและความแข็งหรือไม่?

นี่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เหมือนกันระหว่างสมมาตรและความแข็ง แต่มีความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างสมการของฟังก์ชันบูลีนกับความซับซ้อนของวงจร ดู:

Babai, L. , Beals, R. และTakácsi-Nagy, P. สมมาตรและความซับซ้อน , STOC 1992

นี่คือสิ่งที่พวกเขาแสดง ให้เป็นกลุ่มเรียงลำดับของการเรียงสับเปลี่ยน อนุญาตให้s ( G i )แสดงจำนวนของวงโคจรของG iในการกระทำที่เกิดขึ้นใน{ 0 , 1 } i (โดยการเปลี่ยนตำแหน่งของพิกัด) ให้F ( G )หมายถึงระดับของภาษาLดังกล่าวว่าL ∩ { 0 , 1 } nเป็นค่าคงที่G n จากนั้นทุกภาษาใน$G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$$\mathcal{F}(G)$มีวงจรขนาดไม่เกินและความลึกที่มากที่สุด P o L Y ( เข้าสู่ระบบ( s ( G ) )และนี่คือหลักแน่น$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

In the opposite direction, several $NP$ problems whose witness sets have lots of symmetries end up being in $coAM$ (like $GI$), and so are not $NP$-complete unless $PH$ collapses. In fact, the following paper shows that $NP$ problems whose witness sets have lots of symmetries are low for $PP$:

Arvind, V., Vinodchandran, N. V. The counting complexity of group-definable languages. Theoret. Comput. Sci. 242 (2000), no. 1-2, 199--218.

$PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$, so being low for $PP$ is no obstacle to being $NP$-complete. On the other hand, there is an oracle due to Beigel relative to which $NP$ is not low for $PP$.)

In a similar vein as the above, if every polynomial-time decidable equivalence relation has a polynomial-time complete invariant (function $f$ such that $f(x) = f(y)$ iff $x \sim y$), then any $NP$ problem whose witnesses have lots of symmetries reduces to the hidden subgroup problem for the automorphism group of its witnesses. Admittedly, the hypothesis here is rather unlikely to hold, but it does give some connection between symmetry and quantum complexity.

Finally, the Mulmuley-Sohoni Geomectric Complexity Theory program is essentially about using symmetry to prove hardness, though the symmetry-hardness connection there is more subtle and less direct.

Structured SAT instances, which do exhibit lots of symmetries, seem easier to solve than random SAT instances. Encoding real world problems into SAT always gives raise to structured instances (which is not surprising, since the real world problems we face do have symmetries). The best complete SAT solvers are able to efficiently solve real world instances with as many as 1,000,000 variables, but none of them, as far as I know, is able to efficiently solve random instances with, say, 10,000 variables (on Edward A. Hirsch homepage it's possible to find some surprisingly small random instances, against which even the best complete SAT solvers get stucked). Thus, from an empirical point of view, the presence of symmetries seems to diminish the hardness.