พาร์ติชัน H-free

นี่คือคำถามที่แรงบันดาลใจจากปัญหาการตัด H-ฟรี รับกราฟพาร์ทิชันของจุดสุดยอดของมันตั้งเป็นส่วนคือฟรีถ้าไม่ชักนำสำเนาสำหรับทั้งหมด, . $V$ $r$ $V_1, V_2, \ldots, V_r$ $H$ $G[V_i]$ $H$ $i$ $1 \leq i \leq r$

ฉันต้องการพิจารณาคำถามต่อไปนี้:

อย่างน้อยที่มีพาร์ติชัน free อยู่ในส่วนคืออะไร? $r$ $H$ $r$

โปรดสังเกตว่าเมื่อเป็นเส้นขอบเดียวจำนวนนี้จะเป็นการหาจำนวนรงค์และได้ทำการ NP เสร็จสมบูรณ์แล้ว ฉันสงสัยว่ามันจะง่ายต่อการแสดงความสมบูรณ์ NP สำหรับใด ๆ คงที่สำหรับปัญหานี้ (ง่ายกว่าเมื่อเทียบกับการแสดงมันสำหรับการตัด free) ฉันคิดว่ามันอาจจะชัดเจน แต่ฉันไม่ได้ไปไหน เป็นไปได้ทั้งหมดที่ฉันพลาดบางสิ่งที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาและหากเป็นเช่นนั้นฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์! $H$ $H$ $H$

graph-theory np-hardness co.combinatorics

— Neeldhara
แหล่งที่มา

คุณหมายถึง: สำหรับ

ทั้งหมดและสำหรับ

กราฟย่อยของ

เกิดจาก

ไม่ใช่ isomorphic ถึง

i

$i$

U \subseteq V_{i}

$U \subseteq V_i$

G

$G$

U

$U$

H

$H$

— Jukka Suomela

ฉันคิดว่าคำตอบของ RJK สำหรับปัญหาอื่น ๆ ที่เชื่อมโยงจากสิ่งนี้นำไปใช้กับปัญหานี้ (อันที่จริงแล้วดีกว่าปัญหาอื่น ๆ )

— Tsuyoshi Ito

@ Jukka: ค่อนข้างเป็นเช่นนั้นฉันทำ ขอบคุณสำหรับตัวชี้และยกโทษให้ฉันที่ขี้เกียจเกินไป (อย่างน้อยตอนนี้) เพื่ออัปเดตคำถามตาม!

— Neeldhara

@Tsuyoshi: มันเป็นและตอนนี้ฉันมีคำตอบที่ละเอียดยิ่งขึ้นที่นี่เช่นกัน! อย่างไรก็ตามฉันควรจะบอกว่าฉันโพสต์สิ่งนี้เพราะฉันพบว่าตัวเองอยู่ในสถานการณ์ "I-hit-a-roadblock- ในขณะที่คิดเกี่ยวกับ X และ Y- ดูเหมือนว่าเกี่ยวข้องกับและเริ่มง่ายขึ้น" ฉันคิดว่าฉันควรจะเปิดเผยรายละเอียดของ Y สำหรับส่วนที่เหลือที่กำลังคิดเกี่ยวกับ X, และมันก็ไม่ได้มีวัตถุประสงค์หลักในการเป็นคำขออ้างอิง :)

— Neeldhara

เสิร์จ Gaspers อ้างถึงกระดาษ (1980) ของ Lewis และ Yannakakis ที่ดูเหมือนว่ามีความเกี่ยวข้องมากที่นี่!

— RJK

คำตอบ:

การอ้างอิงที่เร็วที่สุดที่ฉันรู้ถึงปัญหาประเภทนี้มีดังต่อไปนี้ สิ่งเหล่านี้ถูกอ้างถึงในกระดาษโคเว่นก็อดดาร์ดและเยซูรัมที่ฉันพูดถึงในหัวข้ออื่น ๆ

Andrews และ Jacobson (1985) ในลักษณะทั่วไปของจำนวนรงค์ ในพรอ. การประชุมนานาชาติ Southeastern ครั้งที่ 16 เรื่อง Combinatorics ทฤษฎีกราฟและการคำนวณ (Boca Raton 1985), Congr numer 47 33–48

Cowen, Cowen และ Woodall (2529) กราฟสีที่มีข้อบกพร่องในพื้นผิว: พาร์ติชันเป็นกราฟย่อยของขอบเขตความจุ J. กราฟทฤษฎี 10 187–195

Harary (1985) ความเข้มของสีแบบมีเงื่อนไขในกราฟ ในกราฟและการใช้งาน (Boulder 1982), Wiley – Interscience, pp. 127–136

Harary และ Jones (nee Fraughnaugh) (1985) ความสามารถในการกำหนดสีแบบมีเงื่อนไขครั้งที่สอง: การแปรผันของสองฝ่าย ในพรอ. การประชุมซันแดนซ์เรื่อง Combinatorics และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง (ซันแดนซ์ 1985), numer 50 205–218

AFAIK ยังไม่มีกระดาษที่ให้การแยกขั้ว P / NP-c ชัดเจนสำหรับตัวเลือกต่าง ๆ ของ H แม้ว่าจะทำโดย Hell และ Nesetril สำหรับการวางนัยทั่วไปของหมายเลขรงค์ "H-colorings "เพื่อ homomorphisms

— RJK
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบที่ละเอียดมากของคุณ - ชื่นชมอย่างมาก นั่นเป็นส่วนเพิ่มเติมในรายการเรื่องอ่านของฉันมันทำให้ฉันยุ่งอยู่พักหนึ่ง!

— Neeldhara

ถึงแม้จะไม่ใช่ปัญหา แต่อย่างที่บอกไปแล้วนอกจากกระดาษ JGT มันค่อนข้างยากที่จะติดตามสิ่งเหล่านี้ (อันที่จริงฉันต้องยอมรับว่าฉันยังไม่ประสบความสำเร็จมากนักแม้จะมีการเข้าถึงห้องสมุดมหาวิทยาลัยของแคนาดามากมาย) ไม่ว่าในกรณีใดกระดาษ Cowen, Goddard และ Jesurum น่าจะเกี่ยวข้องมากที่สุดและตอบคำถามของคุณ / Moron สำหรับ H เป็นดาวคงที่ จำกัด เฉพาะกราฟระนาบ น่าจะเป็นชั้นเรียนที่เปิดกว้างที่สุด (ฉันคิดว่า?) ของ H เพื่อฟันของคุณให้เป็นวัฏจักรหรือของโบราณ

— RJK

$F_1$ $F_2$ $F_1$ $F_2$ $F_1$ $F_2$

(F-free = {สำหรับ H ทั้งหมดใน F, H-free})

ดู www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1r46.pdf

— Aravind
แหล่งที่มา