ผู้เยาว์ต้องห้ามสำหรับกราฟประเภทขอบเขต

เป็นที่ทราบกันดีว่าและเป็นสิ่งต้องห้ามสำหรับกราฟระนาบ มีผู้เยาว์ต้องห้ามหลายร้อยคนสำหรับกราฟที่ฝังอยู่บนพรู จำนวนของต้องห้ามผู้เยาว์สำหรับกราฟฝังอยู่บนพื้นผิวของสกุลกรัมเป็นหน้าที่ชี้แจงของกรัม คำถามของฉันมีดังนี้: $K_5$ $K_{3,3}$

มีกราฟที่ชัดเจน $G_t$ บนจุดยอดt (ซึ่งไม่ใช่กราฟที่สมบูรณ์) เช่นที่ $G_t$ เป็นสิ่งต้องห้ามเล็กน้อยสำหรับกราฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิวของสกุลgซึ่งtคือฟังก์ชันของg ?

แก้ไข: ฉันตระหนักว่าทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกัน:

สำหรับทุกพื้นผิวΣจะมีจำนวนเต็มrเช่นนั้น $K_{3,r}$ ไม่ได้ฝังในΣ

ดังนั้นฉันกำลังมองหา $G_t$ ที่ไม่ใช่กราฟที่สมบูรณ์ไม่ใช่กราฟ bipartite ที่สมบูรณ์

— พระอิศวร Kintali
แหล่งที่มา

ดังนั้นคุณต้องการกราฟที่สร้างขึ้นอย่างไม่มีพารามิเตอร์ของตระกูล (นอกเหนือจากกราฟที่สมบูรณ์) ซึ่งเป็นสิ่งต้องห้ามของผู้เยาว์สำหรับพื้นผิวของทุกประเภท?

— Derrick Stolee

@Derrick ใช่. แม่นยำ.

— Shiva Kintali

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$

g

$g$

ข้อ จำกัด "

และ

ไม่ใช่ผู้เยาว์ของ

" ไม่สามารถเป็นสิ่งที่คุณต้องการได้ หากพวกเขาไม่ใช่ผู้เยาว์ของ

ดังนั้น

เป็นภาพถ่ายและไม่สามารถเป็นผู้เยาว์ต้องห้ามสำหรับประเภทที่สูงกว่าใด ๆ

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— เดวิด Eppstein

@DavidEppstein ฉันลบการแก้ไขของฉัน โดยพื้นฐานแล้วฉันกำลังมองหาสิ่งกีดขวางที่ "แตกต่าง" จาก

และ

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— Shiva Kintali

การรวมกลุ่มของสำเนาของ (หรือ ) เป็นสิ่งต้องห้ามเล็กน้อยสำหรับกราฟประเภท ; เดียวกันเป็นจริงสำหรับกราฟซึ่งในบางส่วนของสำเนาเหล่านี้ร่วมกันจุดสุดยอดเพียงครั้งเดียวเพื่อให้บล็อกของกราฟที่มีหรือ 3สิ่งนี้ตามมาจากผลลัพธ์ใน J. Battle, F. Harary, Y. Kodama และ JWT Youngs, "Additivity ของสกุลกราฟ", Bull อาเมอร์ คณิตศาสตร์. Soc 68 (1962) 565–568 และเพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่ามีผู้เยาว์ที่ต้องห้ามอย่างน้อยหลายคนชี้แจง $n$ $K_5$ $K_{3,3}$ $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$

Bojan Mohar, "สิ่งกีดขวางการฝังกราฟในพื้นผิว", คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 78 (1989) 135–142, แสดงกราฟที่เกิดขึ้นจากโดยการลบ 4 รอบเช่นเดียวกับสกุล 2 ตั้งแต่เป็น toroidal ซึ่งหมายความว่าหรือ subgraphs ที่ทอดของมันเป็นสิ่งกีดขวาง เพื่อพรูฝังและกราฟที่มีสำเนาของกราฟนี้เป็นบล็อกของพวกเขามีประเภท n $K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ $2n$

Mohar ยังแสดงให้เห็นว่ากราฟที่เกิดขึ้นจาก -cycle โดยการเชื่อมต่อจุดสุดยอด 0 ถึงทุกจุดและแม้จุดสุดยอด 1 ไปยังทุกจุดที่แปลกมี "ญาติสกุล" อย่างน้อย ⌉กราฟเป็นระนาบ แต่ฉันคิดว่าสกุลสัมพัทธ์หมายความว่ารอบจะต้องเป็นใบหน้า หรือคุณสามารถเพิ่มจุดยอดอีกอันลงในกราฟซึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดรอบทั้งหมดเพื่อบังคับให้มันเป็นใบหน้าได้อย่างมีประสิทธิภาพ บางทีนี่อาจจะใกล้เคียงกับสิ่งที่คุณต้องการ แต่ฉันไม่คิดว่าเขาแสดงให้เห็นว่ากราฟเหล่านี้เป็นสิ่งต้องห้ามเล็ก ๆ น้อย ๆ $(2k+2)$ $\lceil k/2\rceil$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

ย่อหน้าสุดท้ายของคุณเกี่ยวกับรอบ

คือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา ขอบคุณ ฉันยอมรับคำตอบของคุณ

(2 k + 2)

$(2k+2)$

— Shiva Kintali