คำนวณระยะทางด้วยการประมาณน้อยกว่า 2 ในกราฟทั่วไป?

ด้วยกราฟน้ำหนักที่ไม่ได้บอกทิศทางด้วยขอบ $m = o(n^2)$ ฉันต้องการคำนวณระยะทางของการประมาณน้อยกว่า 2 ระหว่างจุดยอดที่กำหนด แน่นอนฉันต้องการใช้พื้นที่ subquadratic และเวลาแบบสอบถามย่อย

ฉันตระหนักถึงผลลัพธ์ของ Zwick ที่ใช้การคูณเมทริกซ์ แต่ฉันอยากรู้ว่าอัลกอริธึม combinatorial ใดเป็นที่รู้จักสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

ds.algorithms graph-algorithms

— พระพุทธเจ้า
แหล่งที่มา

สวัสดี @Siddhartha ฉันขอโทษถ้านี่เป็นคำถามที่โง่: ผลลัพธ์ของ Zwickดูเหมือนว่าจะใช้พื้นที่กำลังสองถูกต้องหรือไม่

— Hsien-Chih Chang 張顯之

นอกจากนี้ยังอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดเพิ่มเติมได้หรือไม่

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之 - ฉันสนใจผลการประมาณแบบคูณเท่านั้น กรณีของการประมาณค่าแบบเสริมอาจน่าสนใจในตัวของมันเอง - ง่ายกว่าสำหรับกราฟที่หนาแน่น สามารถใช้ประแจและรับการประมาณค่าเพิ่มเติมสำหรับกราฟที่หนาแน่นเพียงพอ สำหรับกราฟเบาบางเท่าที่ฉันรู้สไปเดอร์จะไม่ช่วย

— Siddhartha

อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ใช้งานไม่ได้ใช่ไหม พิจารณากราฟ

มี

จุดยอดและขอบ

พิจารณาน้ำหนักทั้งหมดของขอบที่จะเป็น1

พยากรณ์ระยะทางใด ๆ ที่สามารถทำได้ดีกว่าการประมาณ

อย่างเคร่งครัดสามารถใช้ตัดสินขอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดไม่ว่าจะอยู่ในกราฟหรือไม่ก็ตาม แต่แน่นอนว่ามีความหมายว่าระยะทางดังกล่าวต้องใช้

บิต ไม่มี? (อาร์กิวเมนต์เป็นบิต handwavy แต่ควรถูกต้อง) (เป็นทางการจำนวนบิตคือโดยที่นี่คือ .

G

$G$

n

$n$

m

$m$

1

$1$

2

$2$

Ω (m)

$\Omega(m)$

\log_{2} (\binom{N}{m})

$\log_2 \binom{N}{m}$

N = (\binom{n}{2})

$N=\binom{n}{2}$

\geq m \log_{2} (N / m)

$\geq m \log_2 (N/m)$

— Sariel Har-Peled

ขอบคุณ Sariel - อาจเป็นไปได้ที่จะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่าแต่ฉันก็สบายดี ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือพื้นที่ subquadratic และเวลาแบบสอบถามย่อย สำหรับกราฟที่มีขอบขอบล่างไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับปัญหา - ถูกต้องหรือไม่

Ω (m)

$\Omega(m)$

m = o (n^{2})

$m = o(n^2)$

Ω (m)

$\Omega(m)$

— Siddhartha

คำตอบ:

เท่าที่ฉันรู้ไม่มีผลการตีพิมพ์เกี่ยวกับระยะคำนวณของการประมาณน้อยกว่า 2 ในพื้นที่ subquadratic และเวลาแบบสอบถาม sublinear สำหรับการดึงข้อมูลระยะทางอย่างรวดเร็วคุณอาจต้องการดูผลลัพธ์และการอ้างอิงใน "อัลกอริธึมที่เร็วกว่าสำหรับเส้นทางลัดที่สั้นที่สุดโดยประมาณทุกคู่" โดย Baswana และ Kavitha (ฉบับบันทึกประจำวันของกระดาษ FOCS ของพวกเขา ไม่มีสิ่งเหล่านี้บรรลุพื้นที่ subquadratic

สำหรับการดึงระยะทางโดยประมาณอย่างกะทัดรัดคุณอาจต้องการดูผลลัพธ์และการอ้างอิงในเอกสารสองฉบับด้านบน [นอกเหนือจากคำตอบของ Gabor คำเตือน: ระวังเรื่องความกระจัดกระจายในเอกสารด้านบน - สำหรับการประมาณกราฟบอกว่าเบาบางถ้าในขณะที่คุณ คงรู้แล้ว] $2$ $m = o(n^2)$

เมื่อซาเรียลชี้ให้เห็นหนึ่งในความคิดเห็นข้างต้นขอบเขตล่างโดยธรรมชาติสำหรับการคำนวณระยะทางโดยประมาณที่น้อยกว่าคือนั่นคือเส้นตรงในขนาดของกราฟ หากเวลาแบบสอบถามไม่ได้ถูก จำกัด ขอบเขตที่ต่ำกว่านี้ไม่สามารถปรับปรุงได้ (เล็กน้อยสามารถใช้อัลกอริธึมพา ธ สั้นที่สุดโดยเพียงแค่จัดเก็บกราฟ) สำหรับเวลาสอบถามคงที่ฉันรู้สองขอบเขตล่าง ครั้งแรก Patrascu และ Roddity มีบางขอบเขตที่ต่ำกว่าเงื่อนไขใน FOCS 2010 กระดาษที่ใช้สำหรับการประมาณน้อยกว่า2ประการที่สอง Sommer และ อัล มีขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับกราฟที่กระจัดกระจาย ฉันไม่ได้ตระหนักถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าอื่น ๆ (ไม่สำคัญ) $2$ $\Omega(m)$ $2$

ในแง่ของขอบเขตบนผลจากเอกสารดังกล่าวข้างต้นดูเหมือนจะไม่คุยไปประมาณน้อยกว่า2เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดำเนินการเกี่ยวกับปัญหานี้ กระดาษควรจะอยู่ใน ArXiv เร็ว ๆ นี้ แต่ถ้าคุณต้องการส่งอีเมลถึงฉันและฉันยินดีที่จะแบ่งปันกระดาษ $2$

หวังว่านี่จะช่วยได้

~ Rachit Agarwal

— รจิตร
แหล่งที่มา

คุณอาจสนใจในรายงาน 2011 INFOCOM ของ Rachit Agarwal:

Rachit Agarwal, P. Brighten Godfrey, Sariel Har-Peled การค้นหาระยะทางโดยประมาณและการกำหนดเส้นทางแบบกระชับในกราฟกระจาย, IEEE INFOCOM 2011

จากนามธรรม:

$\Theta(\log n)$ $O(n^{3/2})$ $O(\sqrt{n})$

โปรดทราบว่า oracle ระยะทางของพวกเขานั้นมีไว้สำหรับกราฟที่กระจัดกระจายเท่านั้น โบนัสเพิ่มเติมอัลกอริทึมยังใช้งานได้กับกราฟถ่วงน้ำหนัก

— Gabor Retvari
แหล่งที่มา

คุณอาจต้องการดู

Pătraşcu, Roditty, ระยะทาง Oracles Beyond the Thorup - Zwick Bound , FOCS 2010

$O(n^{5/3})$

— zotachidil
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! กระดาษจาก Agrawal และ Mihai ดูเหมือนจะไม่พูดอะไรเกี่ยวกับการประมาณ "น้อยกว่า" 2 เว้นแต่ว่าฉันจะพลาดอะไรบางอย่าง

— Siddhartha

ไม่ใช่ แต่อาจให้ความคิดเกี่ยวกับวิธีรับการแลกเปลี่ยนเพื่อปรับปรุงความยืดหยุ่น

— zotachidil