การสลายตัวของฟังก์ชั่น submodular

รับฟังก์ชั่น submodular $f$ บน $\Omega=X_1\cup X_2$ ที่ไหน $X_1$ และ $X_2$ จะแยกจากกันและ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ . ที่นี่ $f_1$ และ $f_2$ อยู่บน submodular $X_1$ และ $X_2$ ตามลำดับ

ที่นี่ $X_1,X_2,f_1,f_2$ ไม่เป็นที่รู้จักและมีเพียงการเข้าถึงคิวรีข้อความค้นหา $f$ ได้รับ จากนั้นจะมีอัลกอริทึมแบบ polytime ที่ค้นหา $X_1$ . หากมีหลายทางเลือกสำหรับ $X_1$ ใด ๆ ของพวกเขาควรจะดี

ความคิดบางอย่าง ถ้าเราสามารถหาองค์ประกอบสองอย่าง $t_1,t_2$ เช่นนั้นทั้งสองเป็นของ $X_1$ หรือเป็นของ $X_2$ จากนั้นเราสามารถรวมพวกเขาและดำเนินการซ้ำ ๆ แต่ยังไม่ชัดเจนว่าจะใช้ขั้นตอนดังกล่าวอย่างไร

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงพูดอย่างนั้นหรือเปล่า

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$ ที่ไหน

f_{1}

$f_1$ และ

f_{2}

$f_2$ อยู่บน submodular

X_{1}

$X_1$ และ

X_{2}

$X_2$ ตามลำดับ?

— จันทรา Chekuri

ใช่ฉันหมายถึงอย่างนั้นจริง ๆ ขอบคุณสำหรับการชี้ที่พิมพ์ผิดฉันจะแก้ไขให้ถูกต้อง

— Ashwinkumar BV

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ฉันพูดด้านล่างถูกต้องหรือไม่ แต่นี่คือแนวคิด ใช้องค์ประกอบโดยพลการ

e \in Ω

$e \in \Omega$ . ถ้า

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ แล้วก็

e

$e$ ไม่ได้รับผลกระทบจากองค์ประกอบที่เหลือเพื่อให้เราสามารถเลือกได้

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$ และ

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$ . มิฉะนั้นให้

X

$X$ เป็นส่วนย่อยที่ชาญฉลาดรวมของ

Ω - e

$\Omega-e$ ดังนั้น

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$ . จากนั้นก็ดูเหมือนว่า

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$ ควรอยู่ในพาร์ติชั่นเดียวกันและด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถย่อชุดให้เป็นองค์ประกอบเดียวและเรียกคืนได้ถ้ามันมีขนาดเล็กกว่าอย่างเข้มงวด

Ω

$\Omega$ มิฉะนั้นเราจะสรุปได้ว่าไม่มีพาร์ติชันที่ต้องการอยู่

— จันทรา Chekuri

ตัดสินใจที่จะให้ความเห็นในคำตอบ

— จันทรา Chekuri

ใช้องค์ประกอบโดยพลการ $e \in \Omega$ . ถ้า $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ แล้วก็ $e$ ไม่ได้รับผลกระทบจากองค์ประกอบที่เหลือเพื่อให้เราสามารถเลือกได้ $X_1 = \{e\}$ และ $X_2 = \Omega-\{e\}$ . มิฉะนั้นให้ $X$ เป็นส่วนย่อยที่ชาญฉลาดรวมของ $\Omega-e$ ดังนั้น $f(e) > f_X(e)$ . แล้วก็ $X \cup \{e\}$ ควรอยู่ในพาร์ทิชันเดียวกัน ถ้า $X \cup \{e\} = \Omega$ เราสรุปได้ว่าไม่มีพาร์ติชันที่ต้องการมิฉะนั้นเราจะลดขนาดชุดนี้ไปเป็นองค์ประกอบเดียวและรับเงินคืน

— จันทรา Chekuri
แหล่งที่มา