การสลายตัวของฟังก์ชั่น submodular


9

รับฟังก์ชั่น submodular f บน Ω=X1X2 ที่ไหน X1 และ X2 จะแยกจากกันและ f(S)=f1(SX1)+f2(SX2). ที่นี่f1 และ f2 อยู่บน submodular X1 และ X2 ตามลำดับ

ที่นี่ X1,X2,f1,f2 ไม่เป็นที่รู้จักและมีเพียงการเข้าถึงคิวรีข้อความค้นหา fได้รับ จากนั้นจะมีอัลกอริทึมแบบ polytime ที่ค้นหาX1. หากมีหลายทางเลือกสำหรับX1 ใด ๆ ของพวกเขาควรจะดี

ความคิดบางอย่าง ถ้าเราสามารถหาองค์ประกอบสองอย่างt1,t2 เช่นนั้นทั้งสองเป็นของ X1 หรือเป็นของ X2จากนั้นเราสามารถรวมพวกเขาและดำเนินการซ้ำ ๆ แต่ยังไม่ชัดเจนว่าจะใช้ขั้นตอนดังกล่าวอย่างไร


2
คุณหมายถึงพูดอย่างนั้นหรือเปล่า f(S)=f1(SX1)+f2(SX2) ที่ไหน f1 และ f2 อยู่บน submodular X1 และ X2ตามลำดับ?
จันทรา Chekuri

ใช่ฉันหมายถึงอย่างนั้นจริง ๆ ขอบคุณสำหรับการชี้ที่พิมพ์ผิดฉันจะแก้ไขให้ถูกต้อง
Ashwinkumar BV

3
ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ฉันพูดด้านล่างถูกต้องหรือไม่ แต่นี่คือแนวคิด ใช้องค์ประกอบโดยพลการeΩ. ถ้าf(e)=fΩe(e) แล้วก็ e ไม่ได้รับผลกระทบจากองค์ประกอบที่เหลือเพื่อให้เราสามารถเลือกได้ X1={e} และ X2=Ω{e}. มิฉะนั้นให้X เป็นส่วนย่อยที่ชาญฉลาดรวมของ Ωe ดังนั้น f(e)>fX(e). จากนั้นก็ดูเหมือนว่าX{e} ควรอยู่ในพาร์ติชั่นเดียวกันและด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถย่อชุดให้เป็นองค์ประกอบเดียวและเรียกคืนได้ถ้ามันมีขนาดเล็กกว่าอย่างเข้มงวด Ωมิฉะนั้นเราจะสรุปได้ว่าไม่มีพาร์ติชันที่ต้องการอยู่
จันทรา Chekuri

2
ตัดสินใจที่จะให้ความเห็นในคำตอบ
จันทรา Chekuri

คำตอบ:


5

ใช้องค์ประกอบโดยพลการ eΩ. ถ้าf(e)=fΩe(e) แล้วก็ e ไม่ได้รับผลกระทบจากองค์ประกอบที่เหลือเพื่อให้เราสามารถเลือกได้ X1={e} และ X2=Ω{e}. มิฉะนั้นให้X เป็นส่วนย่อยที่ชาญฉลาดรวมของ Ωe ดังนั้น f(e)>fX(e). แล้วก็X{e}ควรอยู่ในพาร์ทิชันเดียวกัน ถ้าX{e}=Ω เราสรุปได้ว่าไม่มีพาร์ติชันที่ต้องการมิฉะนั้นเราจะลดขนาดชุดนี้ไปเป็นองค์ประกอบเดียวและรับเงินคืน

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.