การเชื่อมต่อเซลล์ด้วยการเรียงลำดับคอลัมน์และเส้นในตาราง จำกัด

ฉันต้องการทราบว่ามีการศึกษาปัญหาง่าย ๆ ดังต่อไปนี้มาก่อนหรือไม่

ให้ G เป็นกริดที่ จำกัด (MxN) เป็นเซตย่อยของเซลล์ของ G ("crumbs") เศษเล็กเศษน้อยสองชิ้นถูกกล่าวว่าเชื่อมต่อกัน (ภายในเครื่อง) หากพิกัดของพวกเขาแตกต่างกันมากที่สุด (กล่าวคือถ้าวาดเป็นสี่เหลี่ยมพวกมันจะแบ่งมุมอย่างน้อยหนึ่งจุด)

ตอนนี้เราสามารถลองเชื่อมต่อ crumbs (ชุดของมันโดยรวม) โดยการเรียงสับเปลี่ยนบรรทัดและคอลัมน์ของกริด กล่าวอีกนัยหนึ่งเป้าหมายคือการเกิดการเปลี่ยนแปลงของเส้นและการเรียงสับเปลี่ยนของคอลัมน์เพื่อให้เศษสองชิ้นใด ๆ ในตารางผลลัพธ์นั้นเชื่อมโยงกันด้วยห่วงโซ่ของเศษที่เชื่อมต่อ

คำถาม: จะมีทางออกเสมอไหม?

ฉันไม่ค่อยรู้วิธีการโจมตี สำหรับการขาดความคิดที่ดีกว่าฉันได้เขียนโปรแกรมดิบที่มองหาวิธีการแก้ปัญหาโดยกำลังดุร้าย (มันสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มและตรวจสอบว่าตารางผลลัพธ์มีการเชื่อมต่อ crumbs หรือไม่) โปรแกรมพบโซลูชั่นที่มีขนาดเล็กเสมอ (10x10 หรือ 7x14) กริดและกริดที่ใหญ่กว่านั้นชัดเจนว่าไม่สามารถเข้าถึงกลยุทธ์แบบง่าย ๆ ได้ (จะใช้เวลานานเกินกว่าจะสุ่มข้ามโซลูชัน)

นี่คือตัวอย่างของตารางที่โปรแกรมแก้ไข:

กริดเริ่มต้น (crumbs แสดงโดย X's, เซลล์ว่างเปล่าตามจุด):

   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 0 X . X X . X . X X .
 1 X . . . . X . . . .
 2 . . X . . . . X . X
 3 . X . . X . X . . X
 4 . . . X . . . . . .
 5 X X . . . X X . X .
 6 . . . X . . . . X .
 7 X . X . . X . . . .
 8 X . . . X . . X X .

สารละลาย:

   6 1 4 7 8 2 9 3 5 0
 1 . . . . . . . . X X
 4 . . . . . . . X . .
 5 X X . . X . . . X X
 8 . . X X X . . . . X
 7 . . . . . X . . X X
 0 . . . X X X . X X X
 3 X X X . . . X . . .
 6 . . . . X . . X . .
 2 . . . X . X X . . .

ตามธรรมชาติแล้วปัญหาสามารถถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยทั่วไปในมิติใด ๆ d> 2. ฉันคิดว่าการพิจารณาในลักษณะอื่น ๆ

ขอบคุณล่วงหน้า,

ยานน์เดวิด

ลองข้อโต้แย้งที่คล้ายกันกับคำตอบของฉันในเวอร์ชันก่อนหน้านี้อย่างละเอียดยิ่งขึ้น

รับอินพุต 0-1 เมทริกซ์ที่มีค่า q ไม่ใช่ศูนย์กำหนด "วิธีแก้ปัญหา" เพื่อเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของแถวการเรียงสับเปลี่ยนของคอลัมน์และเมทริกซ์ 0-1 ที่เชื่อมต่อซึ่งได้รับเป็นเอาต์พุตหลังจากดำเนินการเรียงสับเปลี่ยน สังเกตที่สำคัญที่นี่ก็คือว่ามีมากที่สุดแตกต่างกันออกเมทริกซ์เป็นไปได้: เมื่อเราทำให้หนึ่งในn 2ทางเลือกสำหรับตำแหน่งของหนึ่งใน nonzeros ที่เราสามารถเข้ารหัสส่วนที่เหลือของเมทริกซ์การส่งออกใน5 คิวบิต ด้วยการทำ preorder traversal ของต้นไม้ที่ทอดแล้วไม่ใช่ศูนย์และบันทึกสำหรับแต่ละขอบในต้นไม้ว่ามันไปยังใบไม้หรือไม่ไม่ว่ามันจะเป็นขอบสุดท้ายจากต้นกำเนิดของมันและทิศทางของมันคืออะไร ดังนั้นจำนวนโซลูชั่นทั้งหมด$n^2 2^{5q}$$n^2$$5q$ .$n^2 2^{5q} (n!)^2$

ขณะนี้แต่ละโซลูชันใช้งานได้กับอินพุตเดียวเท่านั้นเนื่องจากเราสามารถย้อนกลับพีชคณิตเพื่อรับอินพุตกลับจากเมทริกซ์เอาต์พุต จำนวนอินพุตที่มีต่อแถวอย่างแน่นอนคือ($c$และสำหรับคนี้คงสามารถเขียนใหม่(n)) แต่สำหรับจำนวนของการแก้ปัญหาคือ(CN)) สำหรับอินพุตมีจำนวนมากกว่าโซลูชันดังนั้นจึงมีอินพุตที่แก้ไม่ได้$\binom{n}{c}^n$$c$$\exp(cn\log n-O(n))$$q=cn$$\exp(2n\log n+O(cn))$$c>2$