มีกี่ tautologies

เมื่อให้ , -DNF จำนวนเท่าไหร่ที่มีตัวแปรตัวและอนุประโยคเป็นประโยคที่ซ้ำซาก? (หรือ -CNF มีกี่ตัวที่ไม่น่าพอใจ?)k n m $m, n, k$$k$$n$$m$$k$

คำตอบขึ้นอยู่กับ , ม.และn โดยทั่วไปจะไม่ทราบจำนวนที่แน่นอน แต่มีปรากฏการณ์ "เกณฑ์" ที่สำหรับการตั้งค่าส่วนใหญ่ของk , m , n , ทั้งอินสแตนซ์k -SAT เกือบทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจหรือเกือบทุกกรณีไม่น่าพอใจ ตัวอย่างเช่นเมื่อk = 3จะได้รับการตั้งข้อสังเกตว่าเมื่อสังเกตุม< 4.27 nทั้งหมด แต่o ( 1 )ส่วนของ 3-SAT อินสแตนซ์พอใจและเมื่อม> 4.27 nทั้งหมด แต่$k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$เศษส่วนไม่น่าพอใจ (นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์ขอบเขตอย่างเข้มงวด)$o(1)$

หนึ่งในจุดเริ่มต้นคือ"การ Asymptotic คำสั่งของเกณฑ์ K-SAT"

Amin Coja-Oghlanยังได้ทำงานหลายอย่างเกี่ยวกับปัญหาเกณฑ์ความพึงพอใจเหล่านี้

นี่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมเพื่อเสริมคำตอบของไรอันซึ่งเกี่ยวข้องกับเกณฑ์ที่จำนวนประโยคมีขนาดใหญ่พอที่อินสแตนซ์เกือบจะไม่น่าพึงพอใจแน่นอน หนึ่งยังสามารถคำนวณเกณฑ์ที่มีขนาดใหญ่ซึ่งมีจำนวนข้อกองกำลัง unsatisfiability เมื่อมันเกินกว่าหน้าที่ของn$n$

โปรดทราบว่าปัญหาทางเทคนิคบางอย่างจำเป็นต้องได้รับการแก้ไข หากคำสั่งซ้ำจะถูกนับในแล้วม.สามารถทำขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่ต้องการโดยไม่ต้องเปลี่ยนn นี้จะทำลายความสัมพันธ์ระหว่างเมตรและn สมมุติว่าmคือจำนวนประโยคที่ต่างกัน เราจำเป็นต้องตัดสินใจในรายละเอียดอื่น ๆ ไม่ว่าจะเป็นอินสแตนซ์ที่ถูกเข้ารหัสเพื่อให้ลำดับตัวอักษรอยู่ในส่วนคำสั่งหรือคำสั่งของส่วนคำสั่งภายในเรื่องอินสแตนซ์ สมมติว่าสิ่งนี้ไม่สำคัญดังนั้นสองกรณีจึงถูกพิจารณาว่าเทียบเท่าถ้าพวกเขามีอนุประโยคเดียวกันและสองประโยคนั้นเทียบเท่ากันถ้าพวกมันมีตัวอักษรเหมือนกัน ด้วยสมมติฐานเหล่านี้เราสามารถ จำกัด จำนวนของประโยคที่แตกต่างที่สามารถแสดงออกได้$m$$m$$n$$m$$n$$m$ตัวแปร n ประโยคแต่ละคนสามารถมีตัวแปรแต่ละเกิดขึ้นบวกหรือลบหรือไม่ได้เลยแล้ว m ≤ 3 n$n$$m\le 3^n$

ก่อนพิจารณา SAT โดยไม่มีข้อ จำกัด ในkm ที่ใหญ่ที่สุดเช่นนั้นคืออะไรพอใจ? เราสามารถสมมติว่าการมอบหมายทั้งหมดเป็นศูนย์นั้นเป็นวิธีแก้ปัญหา มีคำสั่งที่แตกต่างกัน3 n - 2 nคำตอบที่สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหานี้ ดังนั้นm ≤ 3 n - 2 nสำหรับอินสแตนซ์ที่น่าพอใจใด ๆ อินสแตนซ์ประกอบด้วยส่วนคำสั่งทั้งหมดที่แต่ละประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งตัวอักษรเมื่อตะกี้มีหลายข้อนี้และเป็นที่พอใจโดยการมอบหมายทั้งหมดเป็นศูนย์ นอกจากนี้ตามหลักการของนกพิราบตัวอย่างใด ๆ ที่มีอย่างน้อย3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ไม่น่าพอใจ$3^n-2^n+1$

นี้ให้ชุดย่อยที่แตกต่างกันของข้อดังกล่าวแต่ละคนเป็นตัวแทนของอินสแตนซ์ที่แตกต่างซึ่งเป็นที่พอใจโดยการมอบหมายบางส่วน ในการเปรียบเทียบจำนวนรวมของอินสแตนซ์ที่แตกต่างกันเป็น2 3 n$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

ตอนนี้แก้ไขข้างต้นสำหรับอินสแตนซ์ที่แต่ละส่วนประโยคมีค่ามากที่สุดมี∑ k i = 0 ($k$คำสั่งดังกล่าวที่แตกต่างกันและΣ k ฉัน= 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$คำสั่งที่ไม่มีตัวอักษรที่เป็นลบดังนั้นเมตร≤Σ k ฉัน= 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$สำหรับอินสแตนซ์ที่น่าพอใจและm ที่ใหญ่กว่านั้นไม่น่าพอใจ มี2∑ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$กรณีความพึงพอใจโดยการโอนใด ๆ จากทั้งหมดของ2Σ k ฉัน= 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT อินสแตนซ์$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$