ทฤษฎีบทลำดับชั้นสำหรับอัตราส่วนประมาณ?

ดังที่ทราบกันดีว่าปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบ NP-hard อาจมีอัตราส่วนการประมาณที่แตกต่างกันมากมายตั้งแต่การมี PTAS ไปจนถึงการไม่สามารถประมาณได้ภายในปัจจัยใด ๆ ในระหว่างเรามีค่าคงที่ต่างๆ , , เป็นต้น $O(\log n)$ $poly(n)$

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับชุดของอัตราส่วนที่เป็นไปได้? เราสามารถพิสูจน์ "ลำดับชั้นการประมาณ" ใด ๆ ได้หรือไม่? อย่างเป็นทางการสำหรับสิ่งที่ฟังก์ชั่นและเราสามารถพิสูจน์แล้วว่ามีปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วนประมาณ ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

ในกรณีที่มีปัญหากับอัตราส่วนประมาณแน่นอนหรือไม่? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
แหล่งที่มา

หลักฐานการเช่นทฤษฎีบทมีแนวโน้มว่าจะมีลักษณะคล้ายกับwisdom.weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html ได้รับมีปัญหากับที่รู้จักกันประมาณผูกพัน

เราทำให้ปัญหา "ง่าย" อย่างใดสันนิษฐานโดยใช้แบบฟอร์มของการขยายบางส่วนที่จะได้รับมีปัญหากับการประมาณผูกพัน

)

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

และ

ไม่ใช่ค่าคงที่

O (\log n)

$O(\log n)$

p o l y (n)

$poly(n)$

— Tyson Williams

@TysonWilliams: ฉันคิดว่าเขาหมายถึงว่าในระหว่าง PTAS และไม่มีการประมาณมีค่าคงที่บันทึกและโพลี (n) ฯลฯ

— Suresh Venkat

คุณไม่จำเป็นต้องแยกแยะการแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่การประมาณค่า

-approximation เพื่อลดค่า f ในทันทีคือ

α

$\alpha$

ประมาณค่า

เพื่อลดขนาดให้น้อยที่สุด

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Suresh Venkat

สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณเกี่ยวกับα = O (1) ขอบเขตที่ จำกัด ได้ถูกแสดงสำหรับปัญหาต่าง ๆ เช่นการจัดเก็บถังขยะการตั้งเวลาเครื่องจักร (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html)

— Gopi

คำตอบ:

: มีลำดับชั้นประมาณตัวอย่างที่รู้จักกันหลักคือFPTAS EPTAS PTAS APX แต่สำหรับความไม่สะดวกยังมีNPO-PBอีกด้วย $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

มีผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับชุดของอัตราส่วนที่เป็นไปได้จากผลลัพธ์เช่นนี้:

EPTAS FPTAS เว้นแต่ , $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

เพื่อกำหนดปัญหา APX / NPO-PB-hard

อ้างอิงบางส่วน:

ON PTAS: M. Cesati และ L. Trevisan ประสิทธิภาพของแผนการประมาณเวลาพหุนามปี 1997
บน NPOPB: V. Kann ขอบเขตที่ต่ำกว่าอย่างมากเกี่ยวกับความสามารถในการประมาณค่าของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NPO PB-complete

แต่ฉันขอแนะนำให้ดีที่สุดที่จะตรวจสอบสวนสัตว์ที่มีความซับซ้อนเพราะมันมีข้อมูลเพิ่มเติมและการอ้างอิงในตัวอย่างเหล่านั้นแม้กระทั่งวิกิพีเดีย

$\alpha=O(1)$

— Gopi
แหล่งที่มา

ฉันยังคิดว่าความคิดเห็นของ Suresh ด้านล่างคำถามนั้นเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนใด ๆ ที่เป็นไปได้ หากคุณไม่มั่นใจกับสิ่งนั้นคุณสามารถดูปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด บูลีน (CSPs)

$P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

$\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Per Austrin และ Johan Håstad, ความเป็นอิสระและการต่อต้านแบบสุ่มสนับสนุน, SIAM Journal on Computing, vol. 40, ไม่ 1, pp. 1-27, 2011

$\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— มาห์ดี Cheraghchi
แหล่งที่มา