การค้นหาเส้นทางจุดสุดยอด - จุดแยกไม่รวมกับแหล่งข้อมูลทั่วไปบนกราฟระนาบ

ได้รับกราฟไม่ได้ชั่งภาพถ่ายและคอลเลกชันของคู่จุดสุดยอด ( k ≥ 2เป็นค่าคงที่) ค้นหาkยอด-เคล็ด (ยกเว้นแหล่งที่มา) เส้นทางจากsไปทีฉันเช่นนั้นลดความยาวของเส้นทางที่ยาวที่สุด$(s,t_1),\dots,(s,t_k)$$k\ge2$$k$$s$$t_i$

คำถาม:มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาหรือไม่

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องบางส่วน:

• ถ้าไม่ได้รับการแก้ไขปัญหาคือปัญหาNP-hardแม้ว่าt 1 = ⋯ = t k ;$k$$t_1=\dots=t_k$
• ถ้ากราฟป้อนข้อมูลมีน้ำหนักและแหล่งที่มาของเส้นทางไม่ตรงกันเช่นเส้นทางคือปัญหาคือปัญหาNP-hardแม้สำหรับk = 2 ;$(s_1,t_1),\dots,(s_k,t_k)$$k=2$

• ปัญหาที่มีวัตถุประสงค์แตกต่างกันคือลดผลรวมของความยาวเส้นทางคือ

  • แก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึมการไหลของต้นทุนต่ำสุดสำหรับแหล่งที่ตรงกัน
  • NP-ยากสำหรับแหล่งที่มาประจวบไม่ใช่ทั่วไป ;$k$
  • เปิดแหล่งที่มาประจวบไม่ใช่และคงk$k$

นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณถามอย่างแน่นอน แต่ปัญหาคือปัญหา NP-complete ถ้าkไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต

สิ่งนี้ตามมาจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 ใน van der Holst และ de Pina [HP02] ซึ่งกล่าวว่า: จากกราฟระนาบG , จุดยอดที่แตกต่างของ sและtในG , และจำนวนเต็มบวกkและb , มันสมบูรณ์ NP ในการตัดสินใจ ว่ามีkคู่ภายในเส้นทางจุดสุดยอดเคล็ด-ระหว่างsและtแต่ละที่มีความยาวมากที่สุดข

โปรดทราบว่าปัญหาในคำแถลงทฤษฎีบท 1 นั้นแตกต่างจากของคุณสองประการ ความแตกต่างอย่างหนึ่งคือดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วว่าkจะได้รับเป็นส่วนหนึ่งของอินพุต อีกประเด็นคือปัญหาใน [HP02] เกี่ยวกับเส้นทางที่มีจุดปลายทั่วไปแทนที่จะเป็นเส้นทางที่มีแหล่งที่มาทั่วไปและที่เก็บที่ต่างกัน ฉันไม่รู้วิธีแก้ไขความแตกต่างแรก; ความแตกต่างที่มีขนาดใหญ่เพื่อที่จะเป็นไปได้ว่าเราจะต้องมีหลักฐานที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์เพื่อแก้ไขk แต่ฉันรู้วิธีการแก้ไขข้อแตกต่างที่สองอย่างน้อย

บทพิสูจน์ทฤษฎีบท 1 ใน [HP02] ให้การลดลงจาก 3SAT การลดลงนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ในตัวอย่าง ( G , s , t , k , b ) ที่สร้างขึ้นโดยการลดลงระดับของจุดยอดtจะเท่ากับkเสมอ ขอที₁ , ... , เสื้อ_kเป็นkเพื่อนบ้านของเสื้อ จากนั้นแทนที่จะถามว่ามีเส้นทางkคู่ตามจุดยอดภายในแยกระหว่างsและtแต่ละความยาวไม่เกินbเราเท่าเทียมกันสามารถถามว่ามีคู่ยอด-เคล็ดยกเว้นแหล่งที่มาเส้นทางP ₁ , ... , P _kเช่นกันว่าP _ฉันเป็นเส้นทางระหว่างsและt _ฉันมีความยาวมากที่สุดข -1

[HP02] H. van der Holst และ JC de Pina เส้นทางที่ไม่ต่อกันที่มีความยาวล้อมรอบในกราฟระนาบ คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 120 (1–3): 251–261, สิงหาคม 2002 http://dx.doi.org/10.1016/S0166-218X%2801%2900294-3