มันยากไหมที่จะหาโซ่เสริมที่ดีที่สุด?

ห่วงโซ่นอกจากเป็นลำดับของจำนวนเต็มบวกที่และแต่ละดัชนีเรามีดัชนีบาง<i ความยาวของห่วงโซ่นอกจากเป็น ; เป้าหมายของห่วงโซ่นอกจากเป็นx_nฉัน≥ $(x_1, x_2, \dots, x_n)$$x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$$x_n$

สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาต่อไปนี้: เมื่อกำหนดเป็นจำนวนเต็มความยาวของการเพิ่มห่วงโซ่สั้นที่สุดที่มีเป้าหมายคือคืออะไร มันเป็น NP-hard หรือไม่?$N$$N$

วิกิพีเดียชี้ไปที่บทความ 1981 โดย Downey, Leong และ Sethi ที่พิสูจน์ปัญหาที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้คือ NP-hard: จากชุดจำนวนเต็มความยาวต่ำสุดของห่วงโซ่การเพิ่มที่รวมอยู่ในทั้งชุดคืออะไร เห็นได้ชัดว่าผู้เขียนหลายคนอ้างว่าบทความนี้พิสูจน์ว่าปัญหาเป้าหมายเดียวนั้นยากเกินไป แต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น

ปัญหาดังกล่าวถูกเปิดในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ Eric Lehman "อัลกอริทึมการประมาณสำหรับการบีบอัดข้อมูลที่ใช้ไวยากรณ์" ในปี 2002 จาก p35 ของวิทยานิพนธ์:

"อย่างไรก็ตามวิธีการแก้ปัญหาห่วงโซ่การเติมที่ถูกต้องนั้นยังคงเข้าใจยากวิธี M-ary จะทำงานในเวลา polylog (n) และให้การประมาณ 1 + o (1) อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่าจะอนุญาตให้มีเวลาเพิ่มขึ้นแทนก็ตาม n) ไม่รู้จักอัลกอริธึมที่แน่นอน "

และในบทความหลักของวิทยานิพนธ์ของเลห์แมนมีภาพรวมที่ดีของปัญหา (ส่วน VB) ที่มีการอ้างอิง

ฉันต้องการบันทึกความคืบหน้าบางส่วน - ดูเหมือนว่าจะมีแนวโน้มจนถึงขั้นตอนวิธีพหุนาม อัปเดต : เพิ่มรายละเอียดบางอย่างลงในบัญชีสำหรับความผิดพลาดที่ชี้ให้เห็นโดย @David (ขอบคุณ!)

วิธีการคือการลดสิ่งนี้ให้กับอินสแตนซ์ของ CSPs ของ MIN-ONES-EVEN-3 (MOEC) ซึ่งเป็นปัญหาที่แก้ได้ในพหุนาม หลักฐานการลดลงนั้นค่อนข้างคลุมเครือ แต่ฉันหวังว่ามันจะมีอยู่จริง!

ตัวอย่างของ MOEC เป็นครอบครัวส่วนย่อย -sized ของจักรวาลของตัวแปรและจำนวนเต็มk คำถามก็คือว่ามีการกำหนดน้ำหนักที่น่าพอใจอย่างมากที่k หรือไม่โดยที่การมอบหมายนั้นเป็นฟังก์ชันจากเอกภพถึง{ 0 , 1 }น้ำหนักของการมอบหมายนั้นคือจำนวนของตัวแปรที่จะกำหนดหนึ่งและการมอบหมายคือ พอใจถ้าสำหรับทุกชุดย่อยของตัวแปร{ x , y , z } , การมอบหมาย (พูดf ) มีคุณสมบัติที่:$3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

)$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

คุณสามารถมองเห็นสิ่งนี้เป็น 3-SAT ด้วยแนวคิดที่แตกต่างของความพึงพอใจ - เลือกไม่มีหรือเลือกสอง ฉันจะเป็นหละหลวมเล็กน้อยเกี่ยวกับตัวอย่างของ MOEC ในการที่เราจะอนุญาตให้มีการนอกเหนือจากปกติ -subsets กระทบ disjunctions ของความยาวสองและข้อ จำกัด( x = 1 ) ฉันเชื่อว่าการเพิ่มเติมอย่างง่ายเหล่านี้จะทำให้เวลาพหุนามมีปัญหา$3$$(x = 1)$

สมมติว่าเรากำลังลดปัญหาห่วงโซ่นอกจากนี้สำหรับจำนวนnชุดตัวแปรสำหรับการลดลงนี้มีดังต่อไปนี้:$n$

ทุก ๆตัวแปรNฉัน ฉันจะเขียนตัวแปรN nเป็นNอีกครั้ง สำหรับคู่ทุกฉัน, เจดังกล่าวที่1 ≤ ฉัน, เจ≤ kแนะนำตัวแปรP ฉันเจและถามฉันเจ $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$$1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

แนะนำเซตย่อยต่อไปนี้สำหรับทุก ๆเช่นนั้นk = i + j :$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

และผลกระทบต่อไปนี้:

และ P ฉันj ⇒ N $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

และข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้:

)$(N_1 = 1), (N = 1)$

ในที่สุดเราจำเป็นต้องเพิ่มข้อ จำกัด เพื่อให้แน่ใจว่าอย่างน้อยหนึ่งใน Variable จะถูกเลือกเมื่อมีการกำหนด " N " ที่สอดคล้องกัน(ให้อภัยการใช้สัญลักษณ์ในทางที่ผิด) ซึ่งสามารถทำได้โดยการเพิ่มปกติหรือข้อ จำกัด มากกว่าทุกP ฉันเจดังกล่าวว่าฉัน+ JรวมไปN -variable ในคำถาม อย่างไรก็ตามเราต้องค้นหาวิธีการเข้ารหัสสิ่งนี้อีกครั้งใน MOEC-framework$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

ขอผมร่างวิธีพูดโดยทั่วไปโดยกำหนดชุดตัวแปร:

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

วิธีการ จำกัด "ถ้าการมอบหมายเป็นที่น่าพอใจและตั้งค่าเป็นหนึ่งจากนั้นแน่นอนหนึ่งในl ฉันจะต้องถูกตั้งค่าเป็นหนึ่งโดยการมอบหมาย" สามารถเข้ารหัสด้วยไวยากรณ์ MOEC โปรดทราบว่าสิ่งนี้เพียงพอสำหรับความต้องการของเราเราเพียงแค่แนะนำข้อ จำกัด :$X$$l_i$

)$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

การเข้ารหัสจะทำดังนี้ ให้เป็นที่ฝังรากต้นไม้ไบนารีที่สมบูรณ์แบบบนเสื้อใบ แนะนำใหม่ตัวแปรT d ฉันทั้งหมด1 ≤ d ≤ เข้าสู่ระบบTและ1 ≤ ฉัน≤ L ( d )ที่L ( d )หมายถึงจำนวนโหนดของT Xที่ระดับความลึกd$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

สำหรับทุกโหนดถ้าpและqเป็นลูกของมันในต้นไม้แนะนำข้อ จำกัด EVEN-3:$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

นี่หมายความว่าหากตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับโหนดนั้นถูกตั้งค่าเป็นจริงดังนั้นหนึ่งในนั้นลูกของมันจะต้องถูกตั้งค่าเป็นจริงเช่นกัน ตอนนี้เพิ่มความหมาย:

และ ( d log t , j ) ⇒ l j (เครื่องหมายจุลภาคเพื่อความชัดเจน)$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

การรวมกันของข้อ จำกัด EVEN-3 และนัยนี้เทียบเท่ากับข้อ จำกัด ที่เราต้องการเข้ารหัส

สิ่งที่เกิดขึ้นก็คือข้อ จำกัด สองข้อสุดท้ายนั้นก่อให้เกิดปฏิกิริยาที่จำเป็นต่อการสร้างห่วงโซ่เพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้เราดูที่ของที่ได้รับมอบหมายหนึ่งโดยการกำหนดความพึงพอใจ - การเรียกร้องที่พวกเขาจะเป็นห่วงโซ่นอกจากนี้สำหรับN : ตั้งแต่ได้รับมอบหมายถูกบังคับให้ต้องตั้งยังไม่มีการอย่างใดอย่างหนึ่งจะต้องมีอย่างน้อย หนึ่งP i jที่ถูกตั้งค่าเป็นหนึ่งและความหมายบังคับN ฉันและN $N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$ที่จะได้รับมอบหมายและสิ่งนี้ลงไปจนหมด (ฉันแน่ใจว่านี่จะเป็นทางการด้วยการเหนี่ยวนำแม้ว่าฉันจะยังไม่ได้ทำรายละเอียดในระดับนั้น) โปรดทราบว่าการมอบหมาย satsifying ที่ดีที่สุดในจำนวนของคนที่ได้รับมอบหมายจะไม่ได้ตั้งค่าจริงสำหรับสองคู่( r , s )และ( r ′ , s ′ )ด้วยเหตุผลที่P -variables มาพร้อมกับเพิ่มเติม สัมภาระของความหมายและQ-แปรปรวนไม่ได้ (พวกเขาอยู่ที่นั่นเพื่อให้แน่ใจว่าน่าพอใจ EVEN-3 - ในประโยคที่N ฉันเป็นจริงและ$P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$ไม่เป็นความจริงเรายังต้องเลือกบางสิ่งบางอย่างเพื่อตอบสนองข้อนั้นและด้วยเหตุผลที่ง่ายต่อการมองเห็นสิ่งนี้ไม่สามารถเป็นตัวแปรสากลหนึ่งข้ามข้อ)$P_{ij}$

ดังนั้นฉันเชื่อว่าห่วงโซ่เพิ่มเติมสอดคล้องกับการมอบหมายที่น่าพอใจและในทางกลับกัน ผมขออธิบายส่วนหนึ่งของเรื่องนี้ค่อนข้างอย่างเป็นทางการ: รับห่วงโซ่นอกจากนี้เราสร้างงานที่มีความพึงพอใจ เพื่อเริ่มต้นกับฉทุกชุดN ฉัน 's คุณลักษณะในห่วงโซ่ที่หนึ่งและอื่น ๆ ที่ไม่มีฉัน ' s ให้เป็นศูนย์ ต่อไปหากkให้บริการในห่วงโซ่นอกจากนี้แล้วสำหรับแต่ละN kให้ฉันk , เจkเป็นองค์ประกอบในห่วงโซ่ดังกล่าวว่าฉันk + J k = J จากนั้นตั้งค่า$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$กับหนึ่ง (และ Q ฉันk J k ศูนย์) และทั้งหมด ( ฉัน, J )เช่นที่ฉัน≠ ฉันkและเจ≠ เจkและฉัน+ J = k ,ฉชุด Q ฉันเจให้เป็นหนึ่ง (และ P ฉันjถึงศูนย์) สำหรับทุก kที่ไม่ได้มีบทบาทสำคัญในห่วงโซ่นอกจากนี้สำหรับทุกฉัน, เจดังกล่าวว่า$P_{i_k j_k}$$Q_{i_k j_k}$$(i,j)$$i \neq i_k$$j \neq j_k$$i+j = k$$f$$Q_{ij}$$P_{ij}$$k$$i,j$ , ตั้งค่าทั้งหมด Q i jและ P i jเป็นศูนย์ (โปรดสังเกตว่าความสอดคล้องเป็นไปตามจากความจริงที่ว่าตัวเลขสองตัวบวกกันในทางเดียวเท่านั้น) ประโยคทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ N ฉันในห่วงโซ่เป็นที่พอใจเพราะตัวแปร P หรือตัวแปร Q ที่สอดคล้องกับมันถูกตั้งค่าเป็นหนึ่ง (และสังเกตว่าหนึ่งในนั้นถูกตั้งค่าเป็นหนึ่งสำหรับคู่ใด ๆ ( i , j ) ) สำหรับประโยคอื่น ๆ ทุกอย่างทุกอย่างถูกตั้งค่าเป็นศูนย์ ความหมายของการถือนั้นง่ายต่อการตรวจสอบ$i+j = k$$Q_{ij}$$P_{ij}$$N_i$$(i,j)$

ส่วนที่ยังไม่ชัดเจนคือต่อไปนี้: เพราะทุกองค์ประกอบได้รับการแต่งตั้งในห่วงโซ่นอกจากนี้การกำหนด incurs น้ำหนักของเสื้อ (เพราะทุกQ -variables เป็นชุดเดียว) ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้ที่ห่วงโซ่เพิ่มเติมที่ยาวกว่าจะสอดคล้องกับการมอบหมายที่ถูกกว่า แต่ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นเพราะมีการพิสูจน์ตามบรรทัดต่อไปนี้: พิจารณาห่วงโซ่การเพิ่มที่เหมาะสมที่สุดและสมมติว่า การมอบหมายที่น่าพึงพอใจซึ่งมีน้ำหนักน้อยกว่านั้นสอดคล้องกับมัน เห็นได้ชัดว่าองค์ประกอบของห่วงโซ่ยาวไม่รวมอย่างน้อยหนึ่งจากที่สั้นกว่าหนึ่ง - ให้องค์ประกอบที่เป็นx ฉันอยากจะบอกว่าค่าใช้จ่ายที่เกิดขึ้นกับ$t$$t$$Q$$x$$x$เกิดขึ้นในห่วงโซ่อีกต่อไปและที่เหลือเปรียบเทียบอยู่ในเกณฑ์ดี อย่างไรก็ตามฉันต้องเขียนมันอย่างระมัดระวังและฉันอาจจะได้เห็นสิ่งต่าง ๆ จากโรคหลังเที่ยงคืน!