สัจพจน์สำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุด

สมมติว่าเรามีกราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่ระบุทิศทาง (ด้วยน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ) ให้เราสมมติว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดในGทั้งหมดนั้นไม่เหมือนใคร สมมติว่าเรามีเหล่านี้เส้นทาง (ลำดับของขอบชั่ง) แต่ไม่ทราบว่าตัวเอง เราสามารถสร้างใด ๆที่จะให้เส้นทางเหล่านี้สั้นที่สุดในเวลาพหุนามหรือไม่? เวอร์ชันที่อ่อนแอกว่า: เราสามารถตัดสินใจในเวลาพหุนามถ้ามีอยู่ได้หรือไม่?$G = (V, E, w)$$G$$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

เงื่อนไขที่จำเป็นชัดเจนคือต่อไปนี้: สำหรับทุกคู่ของทางแยกของพวกเขาคือเส้นทางด้วย เงื่อนไขนี้เพียงพอหรือไม่

ฉันเพิ่งพบคำถามเก่านี้ขณะทำการค้นหาเล็กน้อยและฉันเพิ่งได้รับคำตอบในบทความนี้ที่ฉันอาจแชร์เช่นกัน ฉันหวังว่าการผสมผสานของการใช้เวทมนตร์ร่วมกับการโปรโมตด้วยตนเองจะได้รับการอภัย

เราสามารถสร้าง G ที่จะให้เส้นทางเหล่านี้สั้นที่สุดในเวลาพหุนามหรือไม่? เวอร์ชันที่อ่อนแอกว่า: เราสามารถตัดสินใจในเวลาพหุนามถ้า G นั้นมีอยู่ได้หรือไม่?

คำตอบคือใช่ทั้งคู่ อัลกอริทึมของโมฮัมหมัดใช้งานได้ดี แต่มีวิธีการที่เร็วกว่าและตรงกว่าที่หลีกเลี่ยงความจำเป็นในการแยกออราเคิลแบบลูกบาศก์ ให้เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่ระบุทิศทางเสริมโดยน้ำหนักของแต่ละขอบเป็นจำนวนเต็มซึ่งระบุว่ามีจำนวนเท่าใดของพา ธ ที่ใส่ในอินพุตประกอบด้วยขอบนั้น ตอนนี้ให้พิจารณาอินสแตนซ์การไหลของสิ่งของที่หลากหลายที่มีความจุมากกว่า (ตีความน้ำหนักของขอบเป็นความจุ) ซึ่งเป้าหมายคือการผลักดันการไหล 1 หน่วยระหว่างแต่ละโหนดพร้อมกัน เห็นได้ชัดว่าอินสแตนซ์การไหลของ MC นี้สามารถสร้างความพึงพอใจได้ด้วยการผลักโฟลว์ตามวิธีธรรมชาติตามเส้นทางที่กำหนดในอินพุต เมื่อปรากฎว่ามีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า$H = (V, E, w')$$e \in E$$n \choose 2$$H$$n \choose 2$เส้นทางเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ไม่ซ้ำกันในบางถ้าหากเป็นวิธีที่ไม่ซ้ำกันเพื่อตอบสนองอินสแตนซ์การไหลของ MC เราสามารถทดสอบความเป็นเอกลักษณ์ด้วยการตั้งค่า LP ซึ่งมีข้อ จำกัด เป็นปกติสำหรับความเป็นไปได้ของการไหลของ MC บวกกับฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่เลือกอย่างระมัดระวังและน้ำหนักขอบของน่าพอใจสามารถดึงออกมาได้จากสอง LP นี้$G$$G$

เงื่อนไขที่จำเป็นชัดเจนคือต่อไปนี้: สำหรับทุกคู่ของทางแยกของพวกเขาคือเส้นทางด้วย เงื่อนไขนี้เพียงพอหรือไม่

เงื่อนไขนี้บางครั้งเรียกว่า "ความมั่นคง" (ชุดของเส้นทางมีความสอดคล้องกันหากจุดตัดของสองใด ๆ เป็น subpath ของแต่ละ) มันดังต่อไปนี้จากความมั่นคงที่ไม่เพียงพอ หนึ่งในสองตัวอย่างที่เล็กที่สุดสำหรับการเชื่อมต่อคือระบบรหัสสีต่อไปนี้ของสี่เส้นทางบนหกโหนด:

กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีวิธีกำหนดน้ำหนักให้กับขอบทั้ง 8 ภาพที่นี่เพื่อให้เส้นทางทั้งสี่เหล่านี้เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ไม่ซ้ำกันระหว่างจุดปลาย อย่างไรก็ตามคู่ใด ๆ ของพวกเขาตัดกันบนโหนดเดียวดังนั้นพวกเขาจึงมีความสอดคล้องกัน (แม้ว่าเราจะเติมพวกเขาด้วยเส้นทางเพิ่มเติมไม่กี่ทางที่ถูกต้องเพื่อให้มีทั้งหมด ) มีตัวอย่างตัวอย่างมากมายเช่นนี้; ดูกระดาษสำหรับลักษณะ$n \choose 2$

สามความคิดเห็นด่วนอื่น ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้:

1. คำสั่งแบบอะนาล็อกที่คุณอาจหวังว่าทุกคนจะสามารถทำได้ดีในการกำหนดทิศทางแทนที่จะเป็นกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง
2. มีการตีความเชิงทอพอโลยีที่ดีของทฤษฎีนี้ซึ่งนำไปสู่ข้อมูลเชิงลึกและการหยั่งรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีที่โครงสร้างเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ไม่ซ้ำใครและ
3. ด้วยเหตุผลทางเทคนิคบางทฤษฎีทำให้ง่ายขึ้นในการตั้งค่าของ DAG แทนที่จะเป็นกราฟกำกับทิศทาง (cyclic)

คุณสามารถเขียนปัญหาเป็น LP ใช่มั้ย สำหรับจุดยอดสองอัน u, v และเส้นทาง p จาก u ถึง v น้ำหนักของ P มากกว่าหรือเท่ากับน้ำหนักของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่กำหนดระหว่าง u และ v เหล่านี้คือความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นทั้งหมดและแม้ว่าจะมี ปัญหาการแยกอยู่ในรูปแบบ P (เป็นเพียงปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของทุกคู่) ดังนั้นคุณสามารถใช้อัลกอริธึม Ellipsoid เพื่อแก้ปัญหาได้