การคำนวณฟังก์ชั่น Mobius

13

ฟังก์ชัน Mobius ถูกกำหนดให้เป็น , ถ้ามีตัวประกอบกำลังสองกำลังสองและหากค่าทั้งหมดต่างกัน เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณ $\mu(n)$ $\mu(1)=1$ $\mu(n)=0$ $n$ $\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^k$ $p_1,\dots,p_k$ $\mu(n)$ โดยไม่ต้องคำนวณการแยกตัวประกอบเฉพาะของ ? $n$

comp-number-theory

— Craig Feinstein
แหล่งที่มา

6

ฉันคิดว่าเขาเพียงแค่ถามว่ามีวิธีคำนวณ

ที่ไม่ทราบว่าให้การแยกตัวประกอบหรือไม่

μ (n)

$\mu(n)$

— Suresh Venkat

2

@Kaveh ฉันไม่ได้พูดถึงความซับซ้อนในการคำนวณที่นี่ Suresh ถูกต้องในการตีความของเขา มันคล้ายกับการพิจารณาว่าตัวเลขประกอบกันโดยไม่ต้องคำนึงถึงตัวประกอบ สิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับฟังก์ชั่น Mobius หรือไม่?

— Craig Feinstein

1

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นคำถามจริง ฉันคิดว่ามันอาจจะมีประโยชน์ที่จะเตือนคุณว่าเมื่อวันที่ cstheory เรามีความเข้มงวดนโยบายกับหัวข้อข้อเหวี่ยงง่ายในกรณีที่คุณพยายามที่จะโฆษณาความคิดในสิ่งเหล่านี้

— Kaveh

3

@Kaveh ฉันถามคำถามร้ายแรงซึ่งมี 4 นิ้วโป้ง แน่นอนว่าคำตอบของฉันลดลง 8 นิ้ว แต่นั่นคือชีวิต ฉันไม่รู้คำตอบของคำถามจนถึงวันนี้ดังนั้นฉันโพสต์คำตอบ ฟังดูเหมือนว่าคุณกำลังพยายามทำให้จิตใจฉันขุ่นเคืองโดยอ้างว่าฉันมีแรงจูงใจบางอย่างซ่อนเร้นอยู่ที่นี่ ฉันรับรองได้ว่าฉันไม่มีแรงจูงใจอื่นใดนอกจากจะได้รับคำตอบสำหรับคำถาม

— Craig Feinstein

5

@Kaveh: OP เป็น trisector ที่รู้จักกันดีในฟอรั่มหลาย ๆ คุณเคยเห็นเขาหยาบคายกับใครบ้างไหม? ฉันยังไม่ได้ เขาแค่เข้าใจผิดว่าการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่านั้นหมายถึงอะไร คำถามดูเหมือนในหัวข้อสำหรับฉัน มีการพูดว่า: "แม้แต่นาฬิกาที่หยุดก็ยังคงถูกต้องวันละสองครั้ง"

— แอรอนสเตอร์ลิง

34

คำตอบที่ไม่ตรงกับคำถามของคุณก็คือSQUARE-FREE (เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสฟรี) ไม่ทราบว่าอยู่ใน P และการคำนวณฟังก์ชั่นMöbiusจะแก้ปัญหานี้ได้ (เนื่องจากจำนวนฟรีสแควร์มี ) $\mu(n) \neq 0$

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

7

คุณรู้เอกสารใด ๆ ที่พูดถึงความซับซ้อนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่? ทั้งหมดที่ฉันสามารถหาได้คือ: dl.acm.org/citation.cfm?id=371327&dl=GUIDE&coll=GUIDEซึ่งให้ขอบเขตสูตรที่ต่ำกว่า เมื่อมองไปที่mathoverflow.net/questions/16098/…ฉันคิดว่าไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับว่าเป็นไปได้ไหมที่จะลดแฟคตอริ่งให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

— Sasho Nikolov

15

$\mathrm{AC}^0$

— Emil Jeřábek 3.0
แหล่งที่มา

4

ฉันคิดว่านี่เป็นกระดาษเบนกรีน: arxiv.org/abs/1103.4991

— Suresh Venkat

0

\sum_{m \leq n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) = 1.

$\sum_{m \leq n} \left\lfloor \dfrac {n}{m} \right\rfloor \mu (m) = 1.$

μ (n)

$\mu(n)$

m < n

$m < n$

μ (n) = 1 - \sum_{m < n} ⌊ \frac{n}{m} ⌋ μ (m) .

$\mu (n) =1-\sum_{m < n} \left \lfloor \dfrac {n}{m}\right \rfloor \mu (m) .$

n

$n$

m < n

$m<n$

n

$n$

m

$m$

μ (m) = 0

$\mu(m)=0$

m

$m$

\begin{aligned} μ (n) = & 1 - \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \\ + & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \\ - & \sum_{a_{1} < n} ⌊ \frac{n}{a_{1}} ⌋ \sum_{a_{2} < a_{1}} ⌊ \frac{a_{1}}{a_{2}} ⌋ \sum_{a_{3} < a_{2}} ⌊ \frac{a_{2}}{a_{3}} ⌋ + \dots \end{aligned}

$\begin{align} \mu(n)=&1-\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \\ +&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \\ -&\sum_{a_1< n} \left \lfloor \dfrac {n}{a_1}\right \rfloor \sum_{a_2< a_1} \left \lfloor \dfrac {a_1}{a_2}\right \rfloor \sum_{a_3< a_2} \left \lfloor \dfrac {a_2}{a_3}\right \rfloor + \cdots \end{align}$

— Hunde Eba
แหล่งที่มา

n = 120

$n=120$

ตรวจสอบเวอร์ชั่นที่แก้ไข !! @Craig

— Hunde Eba

-22

$n=p_1 \dots p_k$ $p_j$

μ (n) = μ (p_{1} \dots p_{k}) = μ (p_{1}) \dots μ (p_{k}) .

$\mu(n)=\mu(p_1 \dots p_k)=\mu(p_1)\dots \mu(p_k).$

μ (n)

$\mu(n)$

μ (p_{j})

$\mu(p_j)$

p_{j}

$p_j$

p_{1} \dots p_{k}

$p_1 \dots p_k$

n

$n$

นี่คือการเปรียบเทียบ: เพื่อที่จะทราบว่ามีจำนวนของเจลลี่ถั่วแปลกหรือแม้กระทั่งในขวดหนึ่งคนจะต้องนับถั่วเยลลี่ นี่คือเหตุผลที่คุณต้องคำนวณการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเพื่อคำนวณฟังก์ชัน Mobius เมื่อไม่สามารถหารด้วยกำลังสองได้ แต่เพื่อที่จะรู้ว่ามีมากกว่าหนึ่งถั่วเยลลี่ในขวดหนึ่งไม่จำเป็นต้องตรวจสอบใด ๆ ของถั่วเยลลี่ในขวด หนึ่งสามารถเขย่าขวดและได้ยินว่ามีมากกว่าหนึ่งถั่วเยลลี่ นี่คือเหตุผลที่คุณไม่ต้องคำนึงถึงจำนวนที่จะรู้ว่ามันประกอบกัน อัลกอริธึมเช่นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์อนุญาตให้ใครคนหนึ่ง "เขย่าตัวเลขขึ้น" เพื่อให้รู้ว่ามันประกอบกัน

$n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $\mu(n)=0$ $n$

— Craig Feinstein
แหล่งที่มา

6

@ Craig มันยังคงผิด คุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ (ผิดพลาด) เดียวกันสำหรับปัญหาการทดสอบคอมโพสิตตามที่ Peter Shor กล่าว คุณมักจะให้อัลกอริทึมสำหรับปัญหาของคุณและระบุว่าเป็นวิธีเดียวที่จะดำเนินการต่อไป การแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมที่ชัดเจนที่สุดดีที่สุดในการแก้ปัญหาคือหนึ่งในความท้าทายที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในทฤษฎีความซับซ้อน

— Michael Blondin

6

n \times n

$n \times n$

(A B)_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i, k} \cdot B_{k, j}

$(AB)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.807})

$O(n^{2.807})$

14

เรื่อง "เพื่อที่จะทราบว่ามีจำนวนของเจลลี่ถั่วแปลกหรือแม้กระทั่งในขวดหนึ่งคนจะต้องนับถั่วเยลลี่" - แม้สิ่งนี้ไม่เป็นความจริง คุณสามารถดึงพวกมันออกเป็นคู่ ๆ (อันหนึ่งสำหรับฉันอันเดียวสำหรับคุณ ... ) โดยไม่ต้องนับพวกเขาตามจริง จากนั้นเมื่อคุณหมดแรงในการดึงคู่คุณจะเหลือศูนย์หรือหนึ่งและคุณรู้ว่ามีความเท่าเทียมกัน

— David Eppstein

12

M

$M$

6

เครกโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบออกเป็นช่วงเวลาใช่โดยการคำนวณสแควร์รูทจำนวนเต็ม (รู้จักกันว่าคำนวณได้ในเวลาพหุนามซึ่งต่างจากแฟริ่ง) เป็น 69 ^ 2 ฉันไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัย 69. การถกเถียงเรื่องถั่วของคุณแสดงให้เห็นว่าแฟคตอริ่งเป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากคุณต้องดูทุกเยลลี่เพื่อตรวจสอบว่าทุกรสชาติเกิดขึ้นได้หลายครั้งหรือไม่

— sdcvvc