ความหมายของเลขชี้กำลังการคูณเมทริกซ์

15

เรียกขานนิยามของเมทริกซ์การคูณเลขยกกำลัง $\omega$ เป็นค่าที่น้อยที่สุดที่มีเป็นที่รู้จักกัน $n^{\omega}$ ขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ นี้ไม่ได้เป็นที่ยอมรับว่าเป็นความหมายทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการดังนั้นฉันเดาความหมายทางเทคนิคเป็นสิ่งที่ต้องการ infimum มากกว่าทุก $t$ ดังกล่าวว่ามีขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ใน $n^t$ T

ในกรณีนี้เราไม่สามารถพูดมีขั้นตอนวิธีสำหรับเมทริกซ์ในการคูณ $n^{\omega}$ หรือแม้กระทั่ง $n^{\omega + o(1)}$ เพียงว่าทุก $\epsilon > 0$ มีอยู่ขั้นตอนวิธีการใน $n^{\omega + \epsilon}$ εอย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่เอกสารและผลซึ่งใช้เมทริกซ์คูณจะรายงานค่าใช้จ่ายของพวกเขาเป็นเพียงแค่ $O(n^{\omega})$ )

มีคำจำกัดความอื่นของที่อนุญาตให้ใช้นี้หรือไม่? มีผลลัพธ์ใด ๆ ที่รับประกันได้หรือไม่ว่าจะต้องมีอัลกอริทึมของเวลาหรือ ? หรือการใช้เพียงเลอะเทอะ? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— เดวิดแฮร์ริส
แหล่งที่มา

2

หากคุณต้องการใช้การคูณเมทริกซ์เป็นกล่องดำวิธีที่ง่ายที่สุดคือการพูดว่า "ให้

เป็นเช่นนั้นได้เราจะคูณ

เมทริกซ์ด้วย

คำนวณทางคณิตศาสตร์" แน่นอน

ไม่ได้เป็นตัวแทนของการคูณเมทริกซ์แล้ว แต่สามารถพลใกล้ หากคุณต้องการระบุเลขชี้กำลังของการวิ่งครั้งสุดท้ายของคุณด้วยการแสดงทศนิยมขณะนี้คุณต้องปัดเศษเนื่องจากการประมาณที่ไม่น่าสนใจทั้งหมดสำหรับ

ที่ฉันรู้ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะหรือลำดับไม่สิ้นสุด

ω

$\omega$

n \times n

$n \times n$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Markus Bläser

2

มักจะถูกกำหนดให้เป็น infimum มากกว่าทุก reals

สำหรับ

จะ

ดังกล่าวว่ามีความเป็น

อัลกอริทึมเวลานั้นคูณสอง

เมทริกซ์ (ที่เวลาที่มีจำนวนเพิ่มการคูณและหน่วยงานในการ ข้อมูลพื้นฐาน) นี่ก็หมายความว่าในทางเทคนิคเราควรเขียน

แต่มันก็ยุ่งเหยิงดังนั้นเมื่อคุณเห็น

คุณควรคิดถึง

ω

$\omega$

k

$k$

n

$n$

\infty

$\infty$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n \times n

$n\times n$

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

โดยที่

เป็นไทม์ของอัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์

O (M (n))

$O(M(n))$

M (n)

$M(n)$

— virgi

20

เมทริกซ์การคูณเลขยกกำลังเป็นไม่ได้รับประกันว่ามีขั้นตอนวิธีที่วิ่งในเวลาแต่เพียงว่าสำหรับแต่ละมีอัลกอริทึมที่วิ่งใน )อันที่จริงถ้าคุณสามารถหาอัลกอริทึมที่วิ่งในเวลาแล้วนี้แสดงให้เห็นว่า 2 $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

คุณสามารถค้นหาคำจำกัดความที่เป็นทางการในหนังสือพีชคณิตเชิงซ้อนเชิงทฤษฎีโดย Peter Bürgisser, Michael Clausen, Amin Shokrollahi

— MCH
แหล่งที่มา

7

ความคิดเห็นเล็กน้อยที่ยาวเกินกว่าจะแสดงความคิดเห็นได้:

บางครั้งเมื่อคุณมีปัญหาซึ่งมีขั้นตอนวิธีกับการทำงานเวลาสำหรับทุกมีอัลกอริทึมที่มีเวลาทำงาน ) $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

ตัวอย่างเช่นบางครั้งคุณจะได้อัลกอริธึมที่เหมือนกับสำหรับฟังก์ชันที่กำลังเติบโตอย่างรวดเร็ว (เช่น ) หากคุณตั้งถึง (พูด) แล้วจะ o (1) ในตัวอย่างที่มีเป็นคุณสามารถเลือก $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ ที่จะซึ่งจะช่วยให้ซึ่งเป็น o (1) ดังนั้นเวลาทำงานสุดท้ายของขั้นตอนวิธีการนี้จะเป็นตั้งแต่ยังเป็น ) $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

ฉันจินตนาการว่าอัลกอริทึม Coppersmith-Winograd ตกอยู่ในหมวดหมู่นี้หรือไม่

— David Harris

2

@DavidHarris: ไม่รู้เกี่ยวกับสิ่งนั้น บางทีใครบางคนที่เข้าใจอัลกอริทึมอาจสามารถทำให้เข้าใจได้ ฉันแค่ตั้งใจจะบอกว่าบ่อยครั้งที่

ไม่ได้เลวร้ายอย่างที่เห็น

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— Robin Kothari

5

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลลัพธ์ของ Coppersmith และ Winograd นั้น - เวลาไม่สามารถรับรู้ได้โดยอัลกอริทึมเดียว แต่ฉันได้อ่านแล้วว่าพวกเขา จำกัด เฉพาะอัลกอริทึมที่ยึดตามตัวตนของ bilinear ที่คล้ายสตาร์เซนดังนั้นฉันจึงไม่ทราบแน่ชัดว่ากระดาษอยู่เบื้องหลังการจ่ายเงินเดือน $O(n^{\omega})$

— Diego de Estrada
แหล่งที่มา

3

ผมไม่เห็นด้วยกับคำสั่งของคุณได้ในคำถามที่จะไม่ดีที่กำหนดโดย "ค่าที่น้อยที่สุดที่มีความเป็นที่รู้จักกันอัลกอริทึมเมทริกซ์คูณ." เมื่อคนใช้ค่าคงที่นี้มันเป็นเพราะอัลกอริทึมของพวกเขาอาศัยการคูณเมทริกซ์และโดยความซับซ้อนพวกเขาหมายถึง "ความซับซ้อนที่ดีที่สุดของอัลกอริทึมของเราได้รับจากอัลกอริทึมที่ดีที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์" $\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

ฉันไม่ได้บอกว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะนิยามอย่างอื่น (เช่นบอกว่าเป็นความซับซ้อนที่ทำได้ดีที่สุด) $\omega$ $\omega$

Btw ขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการคูณเมทริกซ์ได้รับการปรับปรุงเป็นถ้าฉันไม่ผิด $2.3737$

— บรูโน่
แหล่งที่มา

3

ฉันไม่เห็นว่าความรู้ของมนุษย์สามารถเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร

— David Harris

2

ประสบการณ์ล่าสุดแสดงให้เห็นว่าการหาปริมาณในอัลกอริทึมทั้งหมดง่ายกว่าอัลกอริธึมทั้งหมดที่มนุษย์รู้จักในปัจจุบัน ;-)

— Markus Bläser